Calcule os limites abaixo

lim x → - 1 ⁡ 2 x 4 + 2 x 3 - 5 x 2 + 2 x + 7   2 x + 3 3 - 1

Passo 1

Oie, vamos resolver cmg essa

Para calcular o limite dado:

lim x → - 1 ⁡ 2 x 4 + 2 x 3 - 5 x 2 + 2 x + 7   2 x + 3 3 - 1

Vamos usar a regra de L'Hôpital para simplificar o cálculo, já que temos uma forma indeterminada (0/0) quando substituímos x por -1 diretamente. Primeiro, vamos calcular as derivadas das funções no numerador e no denominador:

Derivada do numerador:

f ( x )   =   2 x 4   +   2 x 3   -   5 x 2   +   2 x   +   7

f ' ( x )   =   8 x 3   +   6 x 2   -   10 x   +   2

Derivada do denominador:

g ( x )   =   2 x   +   3 3   -   1

Para calcular a derivada de g(x), primeiro vamos escrever g(x) como 2 x   +   3 1 3   -   1 e, em seguida, aplicar a regra da cadeia:

g ' ( x )   =   ( 1 / 3 )   *   2 x   +   3 - 2 3   *   2

Passo 2

Agora, podemos calcular o limite aplicando a regra de L'Hôpital:

l i m x → - 1 ⁡ 2 x 4   +   2 x 3   -   5 x 2 +   2 x   +   7 2 x   +   3 3   -   1 =   l i m x → - 1 ⁡ f ' x g ' x  

Agora, substituímos x por -1 nas derivadas:

f ' - 1 =   8 - 1 3   +   6 - 1 2   -   10 - 1 +   2  

=   - 8   +   6   +   10   +   2  

=   10

g ' - 1 =   1 3 *   2 - 1 +   3 - 2 3   *   2  

=   1 3 *   1 - 2 3   *   2  

=   1 3   *   1   *   2  

= 2 3

Passo 3

Agora, podemos calcular o limite:

l i m x → - 1 2 x 4   +   2 x 3   -   5 x 2   +   2 x   +   7 2 x   +   3 3   -   1   =   l i m x → - 1 ⁡ f ' - 1 g ' - 1   = 10 2 3   =   10   *   3 2   =   15

Portanto, o limite é igual a 15.

Resposta

Portanto, o limite é igual a 15.

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