3. Calcule os limites abaixo ou prove que não existe (sem usar a Regra e L’Hospital). Justifique suas passagens com detalhes!
b.
Passo 1
Olá, pessoal! Tudo bom? Aqui temos esse limite para resolver,
A primeira coisa que a gente faz sempre é substituir o pelo valor que ele está tendendo. Mas repara que com isso o nosso denominador dentro do cosseno iria zerar e isso não pode acontecer. Com isso, não conseguiríamos calcular o nosso cosseno.
Quando encontramos um caso tipo esse, a dica é usar a o Teorema do Sanduíche (ou Teorema do Confronto) e tentar resolver o limite.
Bora lá!
Passo 2
Temos que a função cosseno é uma função limitada entre e , ou seja,
Mas repara que a nossa parte do meio ainda está diferente da função do nosso limite. Então vamos multiplicar cada parte por .
Passo 3
Aplicando limite, ficamos com
Pelo Teorema, temos que se os limites das pontas forem iguais, esse também será o resultado do limite do mesmo. E temos que
Repara que os limites das pontas foram iguais a zero. Logo,
Prontinho!