3. Calcule os limites abaixo ou prove que não existe (sem usar a Regra e L’Hospital). Justifique suas passagens com detalhes!

b. lim x → 0 + ⁡ x 4 cos ⁡ 2 x 2 + 5 x 4

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo bom? Aqui temos esse limite para resolver,

lim x → 0 + ⁡ x 4 cos ⁡ 2 x 2 + 5 x 4

A primeira coisa que a gente faz sempre é substituir o x pelo valor que ele está tendendo. Mas repara que com isso o nosso denominador dentro do cosseno iria zerar e isso não pode acontecer. Com isso, não conseguiríamos calcular o nosso cosseno.

Quando encontramos um caso tipo esse, a dica é usar a o Teorema do Sanduíche (ou Teorema do Confronto) e tentar resolver o limite.

Bora lá!

Passo 2

Temos que a função cosseno é uma função limitada entre - 1 e + 1 , ou seja,

- 1 ≤ cos ⁡ 2 x 2 + 5 x 4 ≤ + 1

Mas repara que a nossa parte do meio ainda está diferente da função do nosso limite. Então vamos multiplicar cada parte por x 4 .

- x 4 ≤ x 4 cos ⁡ 2 x 2 + 5 x 4 ≤ + x 4

Passo 3

Aplicando limite, ficamos com

lim x → 0 + ⁡ - x 4 ≤ lim x → 0 + ⁡ x 4 cos ⁡ 2 x 2 + 5 x 4 ≤ lim x → 0 + ⁡ x 4

Pelo Teorema, temos que se os limites das pontas forem iguais, esse também será o resultado do limite do mesmo. E temos que

lim x → 0 + ⁡ - x 4 = lim x → 0 + ⁡ x 4 = 0

Repara que os limites das pontas foram iguais a zero. Logo,

lim x → 0 + ⁡ x 4 cos ⁡ 2 x 2 + 5 x 4 = 0

Prontinho!

Resposta

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