Calcule os limites, caso existam:

c) lim y → 0 ⁡ s e n   3 y c o t g   ( 5 y ) y   c o t g   ( 4 y )

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinarmos o seguinte limite, caso exista:

lim y → 0 ⁡ s e n   3 y c o t g   ( 5 y ) y   c o t g   ( 4 y )

E aí? Como podemos resolver? Não podemos simplesmente substituir o limite pois haverá uma indeterminação (divisão por zero).

Bom... temos que ter ideia que, por definição:

lim x → a ⁡ f ( x ) g ( x ) = lim x → a ⁡ f ( x ) lim x → a ⁡ g ( x )

Não entendeu? Então bora junto 😉

Passo 2

Bom... vamos fazer primeiro o limite do numerador:

lim y → 0 ⁡ s e n   3 y c o t g   5 y ∴

lim y → 0 ⁡ s e n   3 y t g   5 y

Aplicando L’Hospital, temos:

lim y → 0 ⁡ 3   c o s   3 y 5 sec 2 ⁡ 5 y   = 3   c o s   0 5 sec 2 ⁡ 0   = 3 5

Agora vamos aplicar no limite!!

Passo 3

Agora, fazendo o limite do denominador, temos:

lim y → 0 ⁡ y   c o t g   ( 4 y ) ∴

lim y → 0 ⁡ y t g   ( 4 y ) ∴

Aplicando L’Hospital:

lim y → 0 ⁡ 1 4 sec 2 ⁡ 0   = 1 4

Passo 4

Assim, aplicando no limite, temos:

lim y → 0 ⁡ s e n   3 y c o t g   ( 5 y ) y   c o t g   ( 4 y ) = 3 5 1 4 = 12 5

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

lim y → 0 ⁡ s e n   3 y c o t g   ( 5 y ) y   c o t g   ( 4 y ) = 12 5

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