Calcule os limites laterais:

i) lim x → 2 ⁡ h x - h ( 2 ) x - 2 , onde h x = x 3 - 2 x ,     s e   x ≥ 2   x 2 ,     s e   x < 2 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função h x definida por partes, quando x tende a 2 .

Pra que o nosso limite exista, precisamos que os limites laterais da função nesse ponto sejam iguais.

Repare que para valores maiores ou iguais a 2 ( x ≥ 2 ), temos a lei de formação h x = x 3 - 2 x . E para valores menores que 2 ( x < 2 ), nossa função é definida por h x = x 2 . Então, vamos calcular os limites laterais para x tendendo a 2 pela direita e pela esquerda, usando as respectivas leis de formação para cada condição.

Vamos lá!

Passo 2

Nosso limite é dado por:

lim x → 2 ⁡ h x - h 2 x - 2

Como vimos no passo anterior, para x ≥ 2 , temos h x = x 3 - 2 x e h 2 = 4 . Logo, calculando o limite lateral pela direita, temos:

lim x → 2 + ⁡ x 3 - 2 x - 4 x - 2

Fatorando o numerador e simplificando a fração:

lim x → 2 + ⁡ ( x - 2 ) ( x 2 + 2 x + 2 ) x - 2 = lim x → 2 + ⁡ x 2 + 2 x + 2

Aplicando o limite, temos:

= 2 2 + 2 2 + 2

= 10

Passo 3

Agora para x < 2 , nossa função é dada por h x = x 2 e h 2 = 4 . Logo, calculando o limite lateral pela esquerda, teremos:

lim x → 2 - ⁡ h x - h 2 x - 2 = lim x → 2 - ⁡ x 2 - 4 x - 2

Fatorando o numerador e simplificando a fração:

lim x → 2 - ⁡ x + 2 x - 2 x - 2 = lim x → 2 - ⁡ x + 2

E aplicando o limite:

= 2 + 2 = 4

Portanto, como lim x → 2 + ⁡ h x - h 2 x - 2 ≠ lim x → 2 - ⁡ h x - h 2 x - 2 , o limite da função quando x → 2 não existe:

lim x → 2 ⁡ h x - h 2 x - 2 → ∄

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

N ã o   e x i s t e

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