Calcule os limites:

b) lim x → 0 y → 0 ⁡ x y 2 x 2 + y 4

Passo 1

Fala aí povo bonito! Tudo na paz?

Nessa questão precisamos calcular um limite que envolve função de duas variáveis!

lim x → 0 y → 0 ⁡ x y 2 x 2 + y 4

O primeiro passo, como sempre em limites, permanece sendo substituir os valores que x e y estão tendendo e ver o que acontece:

lim x → 0 y → 0 ⁡ x y 2 x 2 + y 4 = 0 ⋅ 0 2 0 2 + 0 4

= 0 0

Puts, uma indeterminação matemática!

(Surpreendendo um total de 0 pessoas, porque nunca facilitam nossa vida haha).

Ou seja, vamos precisar calcular o limite ou mostrar que ele não existe!

Alguém lembra o que é que muda nesses limites de função de duas variáveis?

Então, a grande diferença desses limites de funções de duas variáveis é que existem infinitos caminhos por onde podemos chegar em ( x → 0 ,   y → 0 ) . Podemos caminhar pela reta y = 2 x em direção a esse ponto ( 0,0 ) , ou então pela curva y = x 2 . São infinitas possibilidades...

Pois é! Por isso, o importante é que:

Se o limite assume valores diferentes por caminhos diferentes, então ele na verdade não existe!

Mas, atenção, se o limite assumir o mesmo valor por dois caminhos diferentes, não é suficiente pra afirmar que ele existe!

Pegou essa ideia?

Massa! Vamos então dar uma olhada no que acontece quando buscamos calcular esse limite usando alguns caminhos diferentes, beleza?

Passo 2

Bom pessoal, queremos calcular:

lim x → 0 y → 0 ⁡ x y 2 x 2 + y 4

Notou que no denominador os expoentes de x e y são diferentes?

Uma sacada muito boa quando isso acontece é escolher um caminho que deixa esses termos com o mesmo expoente, assim podemos somá-los.

Vamos fazer então x = y 2 :

lim x → 0 y → 0 ⁡ x y 2 x 2 + y 4 = lim x → 0 y → 0 ⁡ y 2 ⋅ y 2 ( y 2 ) 2 + y 4

=   lim x → 0 y → 0 ⁡ y 4 y 4 + y 4

=   lim x → 0 y → 0 ⁡ y 4 2 y 4 = 1 2

Massa! Por esse caminho deu 1 / 2 .

Precisamos testar um novo caminho que possa dar um valor diferente, só assim chegaremos a alguma conclusão.

Puts, mas e se nenhum outro caminho der valor diferente? Vou só estar perdendo tempo aqui, certo?

Realmente, seria perda de tempo. Mas, uma dica é olhar o expoente máximo do numerador e do denominador. Aqui, por exemplo:

x y 2 x 2 + y 4

O expoente máximo do terno no numerador é 3   ( = 1 + 2 ) . Já no denominador, o expoente máximo é 4 . Sempre que o expoente do numerador for menor ou igual que o do denominador, é um sinal de que, provavelmente, o limite não existe. (cuidado, não é uma regra tá gente?! É apenas um forte indício!).

Passo 3

Voltando, precisamos testar um novo caminho. Já testamos um que torna os expoentes dos termos no denominador iguais. Vamos então testar um outro qualquer, e buscando simplificar nossa vida, vamos fazer pelo caminho:

y = x

Assim:

lim x → 0 y → 0 ⁡ x y 2 x 2 + y 4 =   lim x → 0 y → 0 ⁡ y ⋅ y 2 y 2 + y 4

=   lim x → 0 y → 0 ⁡ y 3 y 2 + y 4

Colocando y 2 em evidência no numerador e denominador:

lim x → 0 y → 0 ⁡ y ⋅ y 2 y 2 1 + y 2

=   lim x → 0 y → 0 ⁡ y 1 + y 2

Quando y → 0 , esse limite vale:

lim x → 0 y → 0 ⁡ y 1 + y 2 = 0 1 + 0 = 0

Olha que legal!! Quando testamos, no passo 2 , o limite pelo caminho x = y 2 , encontramos:

lim x → 0 y → 0 ⁡ x y 2 x 2 + y 4 = 1 2

Já agora, quando testamos o valor do limite pelo caminho y = x , achamos:

lim x → 0 y → 0 ⁡ x y 2 x 2 + y 4 = 0

Qual é a conclusão que tiramoosss?

Isso aí, o limite não existe!

Curtiram? Responde Aí!

Resposta

Não existe.

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