UFJF, Sem Campus, Cálculo 2, Listas Cálculo 2 - UFJF - 2° Lista - 2022.2, Questão 6b
Calcule os limites:
b)
Passo 1
Fala aí povo bonito! Tudo na paz?
Nessa questão precisamos calcular um limite que envolve função de duas variáveis!
O primeiro passo, como sempre em limites, permanece sendo substituir os valores que e estão tendendo e ver o que acontece:
Puts, uma indeterminação matemática!
(Surpreendendo um total de pessoas, porque nunca facilitam nossa vida haha).
Ou seja, vamos precisar calcular o limite ou mostrar que ele não existe!
Alguém lembra o que é que muda nesses limites de função de duas variáveis?
Então, a grande diferença desses limites de funções de duas variáveis é que existem infinitos caminhos por onde podemos chegar em . Podemos caminhar pela reta em direção a esse ponto , ou então pela curva . São infinitas possibilidades...
Pois é! Por isso, o importante é que:
Se o limite assume valores diferentes por caminhos diferentes, então ele na verdade não existe!
Mas, atenção, se o limite assumir o mesmo valor por dois caminhos diferentes, não é suficiente pra afirmar que ele existe!
Pegou essa ideia?
Massa! Vamos então dar uma olhada no que acontece quando buscamos calcular esse limite usando alguns caminhos diferentes, beleza?
Passo 2
Bom pessoal, queremos calcular:
Notou que no denominador os expoentes de e são diferentes?
Uma sacada muito boa quando isso acontece é escolher um caminho que deixa esses termos com o mesmo expoente, assim podemos somá-los.
Vamos fazer então :
Massa! Por esse caminho deu .
Precisamos testar um novo caminho que possa dar um valor diferente, só assim chegaremos a alguma conclusão.
Puts, mas e se nenhum outro caminho der valor diferente? Vou só estar perdendo tempo aqui, certo?
Realmente, seria perda de tempo. Mas, uma dica é olhar o expoente máximo do numerador e do denominador. Aqui, por exemplo:
O expoente máximo do terno no numerador é . Já no denominador, o expoente máximo é . Sempre que o expoente do numerador for menor ou igual que o do denominador, é um sinal de que, provavelmente, o limite não existe. (cuidado, não é uma regra tá gente?! É apenas um forte indício!).
Passo 3
Voltando, precisamos testar um novo caminho. Já testamos um que torna os expoentes dos termos no denominador iguais. Vamos então testar um outro qualquer, e buscando simplificar nossa vida, vamos fazer pelo caminho:
Assim:
Colocando em evidência no numerador e denominador:
Quando , esse limite vale:
Olha que legal!! Quando testamos, no passo , o limite pelo caminho , encontramos:
Já agora, quando testamos o valor do limite pelo caminho , achamos:
Qual é a conclusão que tiramoosss?
Isso aí, o limite não existe!
Curtiram? Responde Aí!
Resposta
Não existe.