UFJF, Sem Campus, Cálculo 2, Listas Cálculo 2 - UFJF - 2° Lista - 2022.2, Questão 6a
Calcule os limites:
a)
Passo 1
Ooii gente, tudo certinhoo?
Mais uma questãozinha de cálculo, e essa aqui trata de um tópico bem legal: limite de função de duas variáveis!
Bom, o enunciado é bem direto e nos pede pra calcular o limite:
O nosso primeiro passo em questões de limite é sempre substituir os valores que e estão tendendo. Assim, temos:
Ou sejaaa, temos uma indeterminação matemática! Precisaremos pensar um pouquinho mais...
A grande diferença desses limites de funções de duas variáveis é que existem infinitos caminhos por onde podemos chegar em . Podemos caminhar pela reta em direção a esse ponto , ou então pela curva . São infinitas possibilidades...
Pois é! Por isso, o importante é que:
Se o limite assume valores diferentes por caminhos diferentes, então ele na verdade não existe!
Mas, atenção, se o limite assumir o mesmo valor por dois caminhos diferentes, não é suficiente pra afirmar que ele existe!
“Uée, então vou ficar testando vários caminhos até encontrar algum diferente? E, se nenhum caminho der valor diferente? Vou ficar testando infinito?”
Haha, calma! Tem uma dica bem legal!
Se no nosso limite, o maior expoente do polinômio do numerador for menor ou igual que o maior expoente do denominador, é um bom sinal que o limite provavelmente não existe! Nesse caso, buscamos analisar diferentes caminhos.
Na nossa questão, por exemplo:
O expoente máximo do numerador é e do denominador também! Isso é um sinal que, provavelmente o limite não existe.
Vamos então testar o valor por caminhos diferentes 😊
Sacou? Bora lá!
Passo 2
Então, outro macete legal:
Quando acontece do expoente máximo do numerador e do denominador serem iguais, é interessante testarmos o caminho genérico pela reta:
Assim, verificamos se o resultado depende ou não de . Provavelmente vai depender de , mostrando que o limite assume diferentes valores por diferentes retas.
Bora ver com calma aqui nessa questão!
Fazendo , temos:
Cancelando o termo :
Olha aí! Viu que o resultado do limite depende de , ou seja, depende do caminho. Se testarmos, por exemplo, , teremos:
Já se testarmos por teremos:
Deu dois valores diferentes!
Portanto, qual é a nossa conclusãooo?
O Limite:
Não existe!
E é isso gente, captaram bem a ideia? Valeu pela atenção 😊
Resposta
Não existe!