UFJF, Sem Campus, Cálculo 2, Listas Cálculo 2 - UFJF - 2° Lista - 2022.2, Questão 6c
Calcule os Limites:
c)
Passo 1
Eaí gente, como vocês estão?
Nessa questão precisamos calcular o seguinte limite:
O primeiro passo em exercícios de limite é sempre substituir os valores que e estão tendendo dentro do limite!
Ou seja, uma indeterminação matemática...
Precisamos então usar outras técnicas pra buscar resolver esse limite! Mas, algo que a gente costuma se perguntar em limites envolvendo função de duas variáveis, é se esse limite existe ou não.
O que vocês acham?
Hahaha! Tem uma dica bem legal:
Podemos comparar o expoente máximo do numerador e do denominador. Se o expoente do numerador for menor ou igual ao do denominador, é porque provavelmente esse limite não existe.
Já se ele for maior do que o do denominador é um indício de que provavelmente o limite existe.
No nosso caso, temos:
Assim, o expoente máximo do numerador é , já no denominador o termo que tem o expoente máximo, tem o expoente . Assim, o expoente do numerador é maior do que o do denominador, sendo um indicativo de que o limite deve existir.
(Cuidado, é apenas um indicativo, não uma regra).
É importante ter essa noção pra escolher a estratégia de ataque ao limite! Se ele não deve existir, buscamos testar caminhos diferentes no valor do limite. Mas, se ele deve existir, precisamos usar alguma técnica de resolução de limites. Vocês lembram de alguma?
Uma ideia legal é o teorema do sanduíche!
Se mostrarmos que:
está sempre entre duas funções (as quais conhecemos o seu valor quando e tendem a ), podemos determinar o valor do nosso limite de interesse.
Vem comigo que vamos ver com mais calma!
Passo 2
A ideia do teorema do sanduíche é, inicialmente, mostrar que:
Isso válido sempre, pra quaisquer valores de
Para a nossa função que está sendo analisado o limite, temos:
Bora analisar com calma. Vocês concordam que:
Desenvolvendo um pouco:
Multiplicando ambos os lados por :
(Se as desigualdades se invertem, mas nossa função continua limitada entre esses dois valores, beleza?)
Olha aí gente, conseguimos mostrar que nossa função está limitada entre outras duas!
Essa é a primeira etapa do Teorema do Sanduíche.
Passo 3
Agora precisamos apenas aplicar o limite, pois conhecemos o valor que essas funções e ) assumem quando e tendem a zero).
Assim, aplicando o limite dos dois lados da desigualdade:
Mas olha:
Enquanto:
Também vale zero. Olha que lindo!
Então, quando voltamos à nossa desigualdade, vamos ter que:
Isso significa queeee??
Isso aí:
Prontinho gente! Entenderam bem a ideia?
Obrigado pela atenção 😊