Calcule os seguintes limites laterais:

lim(x → 1⁻) |x| / (x^4 - 1)

Passo 1

E aí galerinha, vamos destruir essa questão comigo? Vamos láaaa!

Queremos calcular o limite quando x se aproxima de 1 pela esquerda:

l i m x → 1 -   x x 4 - 1

Substituindo x por 1 na expressão x x 4 - 1

1 1 4 - 1 = 1 0

A expressão 1 0 ​ não é definida, indicando uma indeterminação. No entanto, podemos analisar o limite da expressão x x 4 - 1 ∣​ quando x se aproxima de 1−:

Após substituir o valor de x, chegamos ao resultado:

l i m x → 1 -   x x 4 - 1

Dado que estamos nos aproximando de 1 pela esquerda, ∣x∣ é igual a −x. Portanto:

l i m x → 1 -   x x 4 - 1 = l i m x → 1 -   - x x 4 - 1

Passo 2

Podemos fatorar o denominador x 4 - 1 x 4 - 1   c o m o   d i f e r e n ç a   d e   q u a d r a d o s :   x 4 - 1 = x 2 + 1 x 2 - 1 x 4 - 1 = x 2 + 1 x 2 - 1 ,   o n d e   x 2 - 1 = x + 1 x - 1 x 2 - 1 = x + 1 x - 1

Agora podemos simplificar a expressão:

l i m x → 1 -   - x x 4 - 1 = - x ( x 2 + 1 ) ( x 2 - 1 ) = - x x + 1 x - 1 x 2 + 1

Substituindo por 1 temos:

l i m x → 1 - = - 1 1 + 1 1 - 1 1 2 + 1

Aqui chegamos a uma indeterminação, então teremos que aplicar uma regrinha chamada de L'Hôpital

Passo 3

Podemos usar a regra de L'Hôpital para calcular a derivada do numerador e do denominador e calcular o limite novamente:

l i m x → 1 - = - x 0 =   - 1 0 = - ∞

Resposta

Portanto, o limite da função x x 4 - 1   q uando x se aproxima de 2 pela esquerda é 0. Isso significa que, à medida que x se aproxima de 1 pela esquerda, a função - ∞

Exercícios de Livros Relacionados