Calcule os seguintes limites laterais:

i) lim(x→2) (h(x) - h(2)) / (x - 2) onde h(x) = { x^3 - 2x, se x ≥ 2; x^2, se x < 2.

Passo 1

Vamos calcular o limite lateral direito de l i m x → 2 +   h ( x ) - h ( 2 ) x - 2 , onde h ( x ) = { x 3 - 2 x ,     s e   x ≥ 2   x 2 ,     s e   x < 2   .

Primeiro, vamos encontrar a expressão para h ( 2 ) . Como a definição de h ( x ) depende de duas condições (uma para x ≥ 2 e outra para x < 2 ), devemos considerar ambas as condições:

Para x ≥ 2 , temos h ( 2 ) = 2 3 - 2 ⋅ 2 = 8 - 4 = 4 .Para x < 2 , temos h ( 2 ) = 2 2 = 4 .

Passo 2

A g o r a ,   c a l c u l a m o s   o   l i m i t e   l a t e r a l   d i r e i t o :

l i m x → 2 +   h ( x ) - h ( 2 ) x - 2 = l i m x → 2 +   x 3 - 2 x - 4 x - 2

= l i m x → 2 +   x 3 - 2 x - 4 x - 2

Para calcular esse limite, podemos simplificar o numerador utilizando a fatoração a 3 - b 3 = ( a - b ) a 2 + a b + b 2

= l i m x → 2 +   ( x - 2 ) x 2 + 2 x + 2 2 - 4 x - 2

= l i m x → 2 +   ( x - 2 ) x 2 + 2 x + 4 - 4 x - 2

= l i m x → 2 +   x 2 + 2 x + 4 - 4 x - 2

Passo 3

Agora, podemos substituir x = 2 diretamente no limite, pois o termo x - 2 no denominador cancelará a indeterminação:

l i m x → 2 +   2 2 + 2 ⋅ 2 + 4 - 4 2 - 2

= l i m x → 2 +   ( 4 + 4 + 4 ) - 4 0

= 12 - ∞

Portanto, o limite lateral direito l i m x → 2 +   h ( x ) - h ( 2 ) x - 2 é indefinido negativo (ou seja, tende a menos infinito).

Resposta

Portanto, o limite lateral direito l i m x → 2 +   h ( x ) - h ( 2 ) x - 2 é indefinido negativo (ou seja, tende a menos infinito).

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