Calcule os seguintes limites laterais:

lim(x → 1) [g(x) - g(1)] / [x - 1] onde g(x) = { x^2, se x ≥ 1; 4 - 3x, se x < 1 }

Passo 1

Vamos calcular o limite lateral esquerdo de l i m x → 1 -   g ( x ) - g ( 1 ) x - 1 , onde

g ( x ) = { x 2 ,     s e   x ≥ 1   4 - 3 x ,     s e   x < 1  

Como a definição de g ( x ) depende de duas condições (uma para x ≥ 1 e outra para x < 1 ), devemos considerar ambas as condições.

Primeiro, vamos encontrar a expressão para g ( 1 ) . Se x = 1 , usaremos a primeira parte da função.

P a r a   x ≥ 1 ,   t e m o s   g ( 1 ) = x 2 = 1 2 = 1 .

Então ficamos com

l i m x → 1 -   g ( x ) - 1 x - 1

Agora, como estamos falando de limite pela esquerda, estamos falando de quando x assume valores menores que 1. Ou seja, precisamos usar a segunda parte da função g ( x )

Passo 2

A g o r a ,   c a l c u l a m o s   o   l i m i t e   l a t e r a l   e s q u e r d o :

l i m x → 1 -   g ( x ) - g ( 1 ) x - 1 = l i m x → 1 -   ( 4 - 3 x ) - 1 x - 1

= l i m x → 1 -   3 - 3 x x - 1

Vamos agora simplificar e colocar 3 em evidência

= l i m x → 1 -   3 ( 1 - x ) - ( 1 - x )

= l i m x → 1 -   - 3

O   l i m i t e   l a t e r a l   e s q u e r d o   q u a n d o   x   s e   a p r o x i m a   d e   1   p e l a   e s q u e r d a   é   i g u a l   a   - 3 .

P o r t a n t o ,   l i m x → 1 -   g ( x ) - g ( 1 ) x - 1 = - 3 .

Resposta

- 3 .

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