Calcule os seguintes limites

a) lim n → - 1 + ⁡ x 2 - 4 x + 1

Passo 1

E aí pessoal, tudo de boa? Bora pra cima! Aqui temos que calcular esse limite sem aplicar a regra de l’Hospital. Show, nosso limite é:

lim n → - 1 + ⁡ x 2 - 4 x + 1

Nele, o nosso principal problema é porque apesar de ser um limite de polinômios, é uma divisão deles. E aí, como saímos disso facilmente?

Passo 2

A melhor saída pra gente nesse problema, é usarmos uma propriedade de limite que diz:

lim x → n ⁡ f x ⋅ g x   = lim x → n ⁡ f ( x )   ⋅ lim x → n ⁡ g x   ( 1 )

Ou seja, se conseguirmos separar essa razão em duas, conseguimos calcular o limite delas separadas e depois juntar. Então bora lá, algum palpite de como a gente divide em duas funções? Basta a gente considerar o denominador como:

1 g ( x )

Ou seja:

f x = x 2 - 4

g x = x + 1

Calculando os limites separados:

lim n → - 1 + ⁡ x 2 - 4 = - 1 2 - 4

lim n → - 1 + ⁡ x 2 - 4 = 1 - 4

lim n → - 1 + ⁡ x 2 - 4 = - 3

Passo 3

Belezura, agora vamos pro limite de g ( x ) .

lim n → - 1 + ⁡ 1 x + 1

Ao aplicarmos o valor do limite no denominador (pelo lado direito, indicado pelo sinal de + ao lado do - 1 ), percebemos que para x se aproximando de - 1 pela direita,

x > - 1

Dessa forma:

x + 1 > 0

E se o denominador tende a 0, o limite tende a infinito. Portanto:

lim n → - 1 + ⁡ 1 x + 1 = + ∞

Passo 4

Agora voltamos a equação (1), lá do passo 2:

lim x → n ⁡ f x ⋅ g x   = lim n → - 1 + ⁡ f ( x )   ⋅ lim n → - 1 + ⁡ g x   ( 1 )

Como já sabemos os valores de lim x → n ⁡ f ( x )   e lim x → n ⁡ g x , basta fazermos o produto:

lim n → - 1 + ⁡ f ( n )   = - 3

lim n → - 1 + ⁡ g n = + ∞

lim n → - 1 + ⁡ f x ⋅ g x   = lim n → - 1 + ⁡ f ( x )   ⋅ lim n → - 1 + ⁡ g x

lim n → - 1 + ⁡ f x ⋅ g x   = - 3 ⋅ + ∞

lim n → - 1 + ⁡ x 2 - 4 x + 1 = - ∞

E dessa forma encontramos o limite! E é isso gente boa!  Se ficou alguma dúvida, quer dar alguma sugestão ou reportar algum erro, manda um feedback pra gente! Vamos adorar ajudar você

Resposta

lim n → - 1 + ⁡ x 2 - 4 x + 1 = - ∞

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