6. Calcule os seguintes limites:

l) lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 e x - 1

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, queremos obter o limite da função f x = 1 x - 1 e x - 1 para quando x tende a 0 pela direita.

Como vamos fazer isso? 🤔

O limite de uma função descreve o comportamento de uma função à medida que a variável x se aproxima de um determinado valor.

Nesse caso, queremos descobrir o limite

lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 e x - 1

Manipulando a função, temos que

f x = 1 x - 1 e x - 1 = e x - 1 - x x e x - 1

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 2

Se aplicarmos o método de substituição agora, vamos cair em uma indeterminação 0 / 0 , então temos que usar algum método matemático para obter esse limite.

No caso de resultar uma indeterminação, a melhor maneira de se calcular o limite é aplicando a regra de L ' H o p i t a l !

Esse método consiste em derivar o numerador e o denominador do limite até encontrar um resultado.

lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 e x - 1 = lim x → 0 + ⁡ e x - 1 - x x e x - 1

Derivando o numerador e o denominador pelo teorema fundamental do cálculo é pela regra do produto, temos

lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 e x - 1 = lim x → 0 + ⁡ d e x - 1 - x d x d x e x - 1 d x

d e x - 1 - x d x = e x - 1

d x e x - 1 d x = e x + x e x - 1

Substituindo no limite...

lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 e x - 1 = lim x → 0 + ⁡ e x - 1 e x + x e x - 1 = 0 0

Ainda não deu certo, então vamos ter que tentar de novo...

Tranquilo até aqui? 🤔

Passo 3

Novamente derivando o numerador e o denominador pelo teorema fundamental do cálculo e pela regra do produto.

lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 e x - 1 = lim x → 0 + ⁡ d e x - 1 d x d e x + x e x - 1 d x

d e x - 1 d x = e x

d e x + x e x - 1 d x = 2 e x + x e x

Substituindo no limite...

lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 e x - 1 = lim x → 0 + ⁡ e x 2 e x + x e x

Agora sim, aplicando o limite, temos

lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 e x - 1 = lim x → 0 + ⁡ e x 2 e x + x e x = e 0 2 e 0 + 0 e 0

lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 e x - 1 = 1 2

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 e x - 1 = 1 2

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Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ π x do Exemplo 4 na janela retangular - 1,1 por - 1,1 . Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função.
Estime o valor do limite lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x Com 5 casas decimais. Esse número lhe parece familiar?Confirme sua resposta da letra (a) fazendo o gráfico da função.
Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
Use o gráfico da função f x = 1 1 + e 1 x Para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ f x lim x → 0 + ⁡ f x lim x → 0 ⁡ f ( x )
Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5