UFPE – Cálculo 1 – 1º EE – 2022.1 – Questão 2c.
2) Calcule os seguintes limites
c)
Passo 1
Fala aí, galerinha! Tudo belezinha com vocês?
Bom, essa pede pra gente calcular o limite de uma função e a primeira coisa que fazemos pra calcular um limite é tentar fazer a substituição da tendência da variável na própria função e ver no que dá.
Vamos fazer isso, então. Vem comigo que te ajudo!
Passo 2
Podemos pensar em fazer o limite da seguinte forma:
Assim, teríamos:
Repara que
E
Com isso nosso limite será:
Opaa!!! Isso aí é uma indeterminação.
Calma!!! Fica tranquilo que vamos dar um jeito nisso.
Passo 3
Em casos onde nosso limite cai em indeterminações feiosas assim, nós precisamos pensar em manipular um pouco a cara dessa função pra ver se algumas das ferramentas que conhecemos pode ser aplicada a ela nesse novo formato.
Uma dica aqui é tentar transforma essa função em uma fração de funções que seja equivalente a ela. Veja, a função que temos é
Lembra que o pode ser escrito como
Assim, nossa função se torna:
Ou melhor:
Show, vamos ver se agora o limite sai.
Passo 4
Nosso limite agora se transformou em:
E resolvendo, teremos.
Putz!!! Outra indeterminação.
Calma meu amigo, não solta minha mão não!!!
Essa indeterminação aí é do tipo l’Hôspital
Passo 5
A regra de l’Hôspital diz que quando caímos em indeterminações do tipo ou , podemos tentar recalcular o limite usando a fração formada pelas derivadas do numerador e denominador da fração original.
Assim:
Derivando em cima e embaixo, teremos:
Arrumando um pouco melhor e transformando em , e em ficamos com:
Repara que temos ali um limite fundamental trigonométrico:
Assim nosso limite se torna:
E prontinho! Limite calculado sem doer. Encontramos nossa resposta!