2) Calcule os seguintes limites

c)

lim θ → 0 + ⁡ sen ⁡ θ ⋅ ln ⁡ θ

Passo 1

Fala aí, galerinha! Tudo belezinha com vocês?

Bom, essa pede pra gente calcular o limite de uma função e a primeira coisa que fazemos pra calcular um limite é tentar fazer a substituição da tendência da variável na própria função e ver no que dá.

Vamos fazer isso, então. Vem comigo que te ajudo!

Passo 2

Podemos pensar em fazer o limite da seguinte forma:

lim θ → 0 + ⁡ f θ = f 0 +

Assim, teríamos:

lim θ → 0 + ⁡ sen ⁡ θ ⋅ ln ⁡ θ = lim θ → 0 + ⁡ sen ⁡ 0 + ⋅ ln ⁡ 0 +

Repara que

sen ⁡ 0 + = 0

E

ln ⁡ 0 + = - ∞

Com isso nosso limite será:

lim θ → 0 + ⁡ sen ⁡ θ ⋅ ln ⁡ θ = 0 ⋅ ( - ∞ )

Opaa!!! Isso aí é uma indeterminação.

Calma!!! Fica tranquilo que vamos dar um jeito nisso.

Passo 3

Em casos onde nosso limite cai em indeterminações feiosas assim, nós precisamos pensar em manipular um pouco a cara dessa função pra ver se algumas das ferramentas que conhecemos pode ser aplicada a ela nesse novo formato.

Uma dica aqui é tentar transforma essa função em uma fração de funções que seja equivalente a ela. Veja, a função que temos é

f θ = sen ⁡ θ ⋅ ln ⁡ θ

Lembra que o sen ⁡ θ pode ser escrito como

sen ⁡ θ = 1 cossec ⁡ θ

Assim, nossa função se torna:

f θ = 1 cossec ⁡ θ ⋅ ln ⁡ θ

Ou melhor:

f θ = ln ⁡ θ cossec ⁡ θ

Show, vamos ver se agora o limite sai.

Passo 4

Nosso limite agora se transformou em:

lim θ → 0 + ⁡ ln ⁡ θ cossec ⁡ θ

E resolvendo, teremos.

ln ⁡ 0 + cossec ⁡ 0 + = - ∞ ∞

Putz!!! Outra indeterminação.

Calma meu amigo, não solta minha mão não!!!

Essa indeterminação aí é do tipo l’Hôspital

Passo 5

A regra de l’Hôspital diz que quando caímos em indeterminações do tipo ∞ ∞ ou 0 0 , podemos tentar recalcular o limite usando a fração formada pelas derivadas do numerador e denominador da fração original.

Assim:

l i m f x g x   = l i m f ' x g ' x

Derivando em cima e embaixo, teremos:

lim θ → 0 + ⁡ ln ' ⁡ θ cossec ' ⁡ θ = lim θ → 0 + ⁡ 1 θ - cossec ⁡ θ ⋅ cotg ⁡ θ

Arrumando um pouco melhor e transformando 1 - cossec ⁡ θ em - sin ⁡ θ , e 1 cotg ⁡ θ em tg ⁡ θ ficamos com:

lim θ → 0 + ⁡ ln ' ⁡ θ cossec ' ⁡ θ = lim θ → 0 + ⁡ - sen ⁡ θ θ ⋅ tg ⁡ θ

Repara que temos ali um limite fundamental trigonométrico:

lim θ → 0 + ⁡ sen ⁡ θ θ = 1

Assim nosso limite se torna:

- lim θ → 0 + ⁡ sen ⁡ θ θ ⋅ lim θ → 0 + ⁡ tg ⁡ θ = - 1 ⋅ 0 = 0

E prontinho! Limite calculado sem doer. Encontramos nossa resposta!

Resposta

lim θ → 0 + ⁡ sen ⁡ θ ⋅ ln ⁡ θ = 0

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