Calcule os seguintes limites (Não é permitido o uso da regra de l’Hôspital):

a)

lim θ → π 2 ⁡ ln ⁡ ( 1 + cos ⁡ θ )

Passo 1

Fala aí, galerinha! Tudo belezinha com vocês?

Bora resolver esse limite juntinhos?

Bom, essa questão deu pra gente um limite para calcular e a primeira coisa que fazemos quando precisamos calcular um limite de uma função é tentar substituir o valor da variável pela sua tendência.

Vamos entender um pouco melhor isso, a função que queremos calcular o limite é

ln ⁡ ( 1 + cos ⁡ θ )

O limite é quando θ tente a π 2 . Isso fica indicado na parte de baixo do limite como θ → π 2 .

Então vamos tentar substituir esse valor diretamente na função e ver se conseguimos calcular esse limite.

Vem comigo que te ajudo com isso!

Passo 2

Como o limite que queremos calcular é

lim θ → π 2 ⁡ ln ⁡ ( 1 + cos ⁡ θ )

E temos:

lim θ → π 2 ⁡ f ( θ ) = f π 2

Como cos ⁡ π 2 = 0 , ficamos com:

lim θ → π 2 ⁡ ln ⁡ ( 1 + cos ⁡ θ ) = ln ⁡ ( 1 + 0 )

E ln ⁡ ( 1 ) = 0

Então teremos:

lim θ → π 2 ⁡ ln ⁡ ( 1 + cos ⁡ θ ) = ln ⁡ ( 1 ) = 0

E prontinho! Encontramos nossa resposta!

Resposta

lim θ → π 2 ⁡ ln ⁡ ( 1 + cos ⁡ θ ) = 0

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Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ π x do Exemplo 4 na janela retangular - 1,1 por - 1,1 . Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função.
Estime o valor do limite lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x Com 5 casas decimais. Esse número lhe parece familiar?Confirme sua resposta da letra (a) fazendo o gráfico da função.
Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
Use o gráfico da função f x = 1 1 + e 1 x Para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ f x lim x → 0 + ⁡ f x lim x → 0 ⁡ f ( x )
Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5