Calcule os seguintes limites usando a regra de l’Hospital, indicando o tipo de indeterminação em cada caso:

b- lim x → 1 + ⁡ x 1 / ( 1 - x )

Passo 1

Faaala galerinha, suave? Esse exercício é o sonho de toda guerreira ou guerreiro que passou por toda aquela parte de resolução bruta de limites, driblando indeterminações através da fatoração, relações trigonométricas, dentre outros.

Vamos agora usar e abusar da regra de l’Hôspital, que nos garante que se nosso limite da razão entre duas funções nos entrega uma indeterminação, podemos derivar o numerador e o denominador para acharmos esse limite.

Passo 2

Passo 3

Agora vamos de item b):

lim x → 1 + ⁡ x 1 / ( 1 - x )

Beleza, e nesse caso, como faríamos? Acredito que, para explicitarmos uma razão entre funções, podemos retirar esse exponencial a partir da aplicação de um logaritmo natural, sua propriedade vai nos garantir o seguinte:

lim x → 1 + ⁡ x 1 / ( 1 - x ) = lim x → 1 + ⁡ y

ln ⁡ y = ln ⁡ x 1 1 - x = 1 1 - x l n ⁡ ( x )

Aplicando o limite a esse logaritmo:

l i m x → 1 + l n ⁡ ( x ) 1 - x

Teríamos a divisão 0 / 0 , justificando a aplicação da regra:

l i m x → 1 + x 0 - 1 = - 1

Portanto, ln ⁡ y = - 1 ∴ y = e - 1

Conseguimos achar a derivada! (/◕ヮ◕)/ E é isso gente boa!  Se ficou alguma dúvida, quer dar alguma sugestão ou reportar algum erro, manda um feedback pra gente! Vamos adorar ajudar você

Resposta

a- 0

b- e - 1

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