Calcule usando os limites fundamentais.

a ) lim x → 0 ⁡ 1 - c o s 4 x   x ²

Passo 1

Fala aí, beleza?? Vamos para mais uma questãozinha!

Pessoal, nessa questão devemos calcular o limite de 1 - c o s 4 x   x ² quando o x se aproxima de zero de ambos os lados. E para resolvermos esse limite a questão nos diz que devemos utilizar os limites fundamentais, belezinha?! Tá, mais afinal quais são esses limites fundamentais???

O que iremos utilizar nessa questão é o seguinte:

lim x → 0 ⁡ s e n   x x = 1

Show! Já sabemos o que a questão quer e qual relação devemos usar, agora bora botar a mão na massa??

Passo 2

Antes de tudoooo, qual é o primeiro procedimento que fazemos quando temos uma questão sobre limites?? Se sua resposta foi “substituir o valor para qual o x se aproxima na expressão” você acaba de matar a charada. Bora lá!

lim x → 0 ⁡ 1 - c o s 4 x   x ² =   lim x → 0 ⁡ 1 - c o s 4 ( 0 )   0 ² =   lim x → 0 ⁡ 1 - 1   0 = 0 0

Opa opa, galerinha! Chegamos a uma indeterminação não é mesmo? Primeiro que não existe propriamente divisão por zero e segundo que não conseguimos determinar se o resultado disso seria zero ou um. Então, isso significa que devemos ter uma nova estratégia de resolução.

Vamos começar reescrevendo a expressão matemática baseada no produto da soma pela diferença. Ora,

a - b a + b = a 2 - b 2

Assim,

lim x → 0 ⁡ 1 - c o s 4 x   x ² =   lim x → 0 ⁡ ( 1 - c o s 2 x ) ( 1 + c o s 2 x )   x ²

Além disso, podemos utilizar também a relação fundamental da trigonometria:

s e n 2 x + c o s 2 x = 1

s e n 2 x = 1 - c o s ² x

Ajeitando a nossa expressão...

lim x → 0 ⁡ ( 1 - c o s 2 x ) ( 1 + c o s 2 x )   x ² =   lim x → 0 ⁡ s e n ² x ( 1 + c o s 2 x ) x ²

= lim x → 0 ⁡ s e n 2 x ⋅ ( 1 + c o s 2 x ) x ²

Passo 3

Vamos utilizar agora uma propriedade dos limites que diz:

lim x → a ⁡ f x ��� g x =   lim x → a ⁡ f x ⋅ lim x → ⁡ g ( x )  

= lim x → 0 ⁡ sen x x 2 ⁡ ⋅ lim x → 0 ⁡ 1 + c o s ² x

Sabendo que lim x → 0 ⁡ s e n   x x = 1

Temos,

= 1 ² ⁡ ⋅ lim x → 0 ⁡ 1 + c o s ² x

E substituindo x = 0 , obtemos:

= 1 2 ⋅ ( 1 + c o s 2 ( 0 ) )

= 1 2 ⋅ 1 + 1

= 2

Maravilha! Então a princípio nos deparamos com uma indeterminação, em seguida, manipulamos a nossa expressão matemática para fugir dessa indeterminação. Depois disso, vimos que chegamos a uma continha onde era possível utilizar o limite fundamental. Assim, matamos a questão! Bora treinar mais!!!

Resposta

2

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Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5