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Exercícios Resolvidos de Limites Laterais e Existência do Limite

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Enunciado

  1. Considere a fun ̧c ̃ao f cujo gr ́afico est ́a representado abaixo. Determine o que se pede.

  1. Os limites lim x → 4 - ⁡ f x e lim x → 4 + ⁡ f x .
  2. Os limites lim x → 2 - ⁡ f x e lim x → 2 + ⁡ f x .
  3. Os limites lim x → 0 - ⁡ f x e lim x → 0 + ⁡ f x .
  4. Os limites lim x → - 2 - ⁡ f x e lim x → - 2 + ⁡ f x .
  5. Os limites lim x → - 4 - ⁡ f x e lim x → - 4 + ⁡ f x .
  6. O que se pode dizer sobre a existência dos limites laterais nos pontos - 5 ,   - 1 ,   3,95 e 7 / 3 ?

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Nesta questão temos que avaliar os limites laterais de f x , tanto pela direita, como pela esquerda.

A questão não disse quem é f ( x ) , mas mostrou como é o gráfico. Então para dizer que são esses limites, vamos imaginar que estamos andando sobre a função até o ponto que x está tendendo e vemos qual é o limite.

Bora lá!

Passo 2

  1. Vamos começar por lim x → 4 - ⁡ f x

    2. Repara que o bonequinho está escorregando para menos infinito, quando esta se aproximando do número 4 no eixo x . Logo:

    lim x → 4 - ⁡ f x = - ∞

    Agora vamos para lim x → 4 + ⁡ f x

    Repara que o bonequinho subiu aquela ladeira – opsss, função! – indo em direção a x = 4 e chegou num ponto onde y ≈ 3,5 . Então:

    lim x → 4 - ⁡ f x = 3,5

    Entendeu a ideia? Agora vamos aplicar para as outras letras!

    Passo 3

  2. Para x → 2 , teremos:

    3. lim x → 2 - ⁡ f x = 1,5

    lim x → 2 + ⁡ f x = 4,5

    Passo 4

  3. Para x → 0 , teremos:

    4. lim x → 0 - ⁡ f x = 4

    lim x → 0 + ⁡ f x = 4

    Passo 5

  4. Para x → - 2 , teremos:

    5. lim x → - 2 - ⁡ f x = 4

    lim x → - 2 + ⁡ f x = 2

    Passo 6

  5. Para x → - 4 , teremos:

    6. lim x → - 4 - ⁡ f x = 3

    lim x → - 4 + ⁡ f x = 3

    Passo 7

  6. Agora temos que avaliar a existência dos limites laterais nos pontos - 5 ,   - 1 ,   3,95 e 7 / 3 . Note que em que todos esses pontos a função é continua, ou seja, estamos bem em cima da linha. Logo, os limites laterais serão iguais.

Resposta

No texto.

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Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ π x do Exemplo 4 na janela retangular - 1,1 por - 1,1 . Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função.
Estime o valor do limite lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x Com 5 casas decimais. Esse número lhe parece familiar?Confirme sua resposta da letra (a) fazendo o gráfico da função.
Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
Use o gráfico da função f x = 1 1 + e 1 x Para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ f x lim x → 0 + ⁡ f x lim x → 0 ⁡ f ( x )
Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5