Considere os limites abaixo e determine-os caso exista. É importante lembrar que para todo α ∈ R :   e a = lim x → ± ∞ ⁡ 1 + a x x o u   e a = lim x → 0 ⁡ 1 + α x 1 x

lim h → 0 ⁡ ln ⁡ x + h - l n ⁡ ( x ) h

Passo 1

Fala galera, bora resolver o nosso exercício?

Bom, para calcularmos o nosso limite do enunciado, a primeira etapa que precisamos fazer é simplesmente substituir o valor que x está tendendo na nossa função, beleza? Vamos lá.

Passo 2

Vamos lá.

Para resolver o nosso exercício, vamos ter que aplicar algumas propriedades:

lim h → 0 ⁡ ln ⁡ x + h - l n ⁡ ( x ) h

Aqui, vamos aplicar a propriedade do quociente:

ln ⁡ a b = ln ⁡ a - ln ⁡ b

No caso, vamos aplicar ela de forma contrária:

lim h → 0 ⁡ ln ⁡ x + h - l n ⁡ ( x ) h = lim h → 0 ⁡ ln ⁡ x + h x h

Show, agora, vamos aplicar a propriedade do expoente:

ln ⁡ a b = b × l n ⁡ ( a )

Como feito anteriormente, vamos aplicar de forma contrária:

lim h → 0 ⁡ ln ⁡ x + h x h = lim h → 0 ⁡ 1 h × ln ⁡ x + h x = lim h → 0 ⁡ ln ⁡ x + h x   1 h

lim h → 0 ⁡ ln ⁡ x + h x   1 h = lim h → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + h x   1 h

Aqui, como estamos trabalhando com o Limite de uma função logarítmica, podemos inverter:

lim h → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + h x   1 h = ln ⁡ l i m h → 0   1 + h x   1 h

Show, agora podemos usar um lembrete do enunciado:

e a = lim x → 0 ⁡ 1 + α x 1 x

ln ⁡ l i m h → 0   1 + h x   1 h = e 1 x

Resposta

e 1 x

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