Considere os limites abaixo e determine-os caso exista. É importante lembrar que para todo α ∈ R :   e a = lim x → ± ∞ ⁡ 1 + a x x o u   e a = lim x → 0 ⁡ 1 + α x 1 x

lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ x + 1 - ln ⁡ x

Passo 1

Fala galera, bora resolver o nosso exercício?

Bom, para calcularmos o nosso limite do enunciado, a primeira etapa que precisamos fazer é simplesmente substituir o valor que x está tendendo na nossa função, beleza? Vamos lá.

Passo 2

Vamos lá.

Para resolver o nosso exercício, vamos ter que aplicar algumas propriedades:

lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ x + 1 - ln ⁡ x

Aqui, vamos aplicar a propriedade do quociente:

ln ⁡ a b = ln ⁡ a - ln ⁡ b

No caso, vamos aplicar ela de forma contrária:

lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ x + 1 - ln ⁡ x = lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ x + 1 x

Show, agora, vamos aplicar a propriedade do expoente:

ln ⁡ a b = b × l n ⁡ ( a )

Como feito anteriormente, vamos aplicar de forma contrária:

lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ x + 1 x = lim x → ��� ⁡ ln ⁡ x + 1 x x

Aqui, como estamos trabalhando com o Limite de uma função logarítmica, podemos inverter:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x + 1 x x = ln ⁡ l i m x → ∞   x + 1 x   x

ln ⁡ l i m x → ∞   x + 1 x   x = ln ⁡ l i m x → ∞   1 + 1 x   x

Show, agora podemos usar um lembrete do enunciado:

e a = lim x → ± ∞ ⁡ 1 + a x x

Logo

ln ⁡ l i m x → ∞   1 + 1 x   x = ln ⁡   e x = x

Resposta

x

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