Considere os limites abaixo e determine-os caso exista (Lembrete: e a = lim x → ± ∞ ⁡ 1 + a x x )

  1. lim x → - 1 ⁡ ( x 2 - 1 ) ( x 3 + 1 )

Passo 1

Fala galera, bora resolver o nosso exercício?

Bom, para calcularmos o nosso limite do enunciado, a primeira etapa que precisamos fazer é simplesmente substituir o valor que x está tendendo na nossa função, beleza? Vamos lá.

Passo 2

Vamos lá, vamos substituir o valor que x está tendendo e analisar se vai dar alguma indeterminação:

lim x → - 1 ⁡ ( x 2 - 1 ) ( x 3 + 1 ) = lim x → - 1 ⁡ ( ( - 1 ) 2 - 1 ) ( ( - 1 ) 3 + 1 ) = lim x → - 1 ⁡ ( 1 - 1 ) ( - 1 + 1 ) = 0 0

Opa, infelizmente achamos uma indeterminação. E aí, o que faremos? Bom, vamos ter que trabalhar os nossos polinômios de alguma forma para sairmos dessa indeterminação.

Passo 3

Bom, para isso, vamos precisar relembrar de algumas relações:

x 2 - 1 = ( x + 1 ) ( x - 1 )

x 3 + 1 = ( x + 1 ) ( x 2 - x + 1 )

Substituindo:

lim x → - 1 ⁡ ( x 2 - 1 ) ( x 3 + 1 ) = lim x → - 1 ⁡ ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x 2 - x + 1 ) = lim x → - 1 ⁡ ( x - 1 ) ( x 2 - x + 1 )

Substituindo o valor de x :

lim x → - 1 ⁡ ( x - 1 ) ( x 2 - x + 1 ) = lim x → - 1 ⁡ ( - 1 - 1 ) ( - 1 2 - ( - 1 ) + 1 ) = lim x → - 1 ⁡ ( - 2 ) ( 1 + 1 + 1 ) = - 2 3

Resposta

- 2 3

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