Dadas as funções:

f x = x 2 + 3   s e   x ≤ 1 x + 1   s e   x > 1

E

g x = x 2   s e   x ≤ 1 2   s e   x > 1

(iii) Dê a expressão da função F x = f x ∙ g ( x ) e verifique se existe lim x → 1 ⁡ F ( x ) .

Passo 1

Falaeee, beleza? Seguinte, vamos multiplicar as duas funções em seus respectivos intervalos como a questão pede e dar uma analisada:

F x = f x ∙ g x = x 2 + 3 ∙ x 2   s e   x ≤ 1 x + 1 ∙ 2   s e   x > 1 ∴

F x = x 4 + 3 x 2   s e   x ≤ 1 2 x + 2   s e   x > 1

Passo 2

Vamos também dar uma relembrada nos gráficos que descobrimos de f ( x ) e g ( x ) :

Passo 3

Podemos generalizar a expressão de F x = f x ∙ g x para seus limites laterais, ou seja:

lim x → 1 - ⁡ F ( x ) = lim x → 1 - ⁡ f ( x ) ∙ lim x → 1 - ⁡ g ( x )

Substituindo pelos valores que encontramos anteriormente, temos:

lim x → 1 - ⁡ F ( x ) = 4 ∙ 1 = 4

Agora, para os limites laterais da direita:

lim x → 1 + ⁡ F ( x ) = lim x → 1 + ⁡ f ( x ) ∙ lim x → 1 + ⁡ g ( x )

Substituindo os valores que encontramos anteriormente:

lim x → 1 + ⁡ F ( x ) = 2 ∙ 2 = 4

Como os limites laterais deram iguais, isso quer dizer que lim x → 1 ⁡ F ( x ) existe e tem seu valor igual a 4, ou seja:

lim x → 1 ⁡ F ( x ) = 4

Legal né?? Vamos para a próxima, valeeeu!!

Resposta

lim x → 1 ⁡ F ( x ) = 4

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