Determine as constantes a e b de modo que f ' 1 exista se

f x = a x 2 + b ,     x ≤ 1 1 x 2 ,     x > 1

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinar as constantes a e b de forma que a derivada de f x no ponto x = 1 exista.

Para isso, temos que:

f x = a x 2 + b ,     x ≤ 1 1 x 2 ,     x > 1

Bom... Para determinar as constantes a e b de modo que a derivada de f ( x ) exista em x   =   1 , vamos calcular as derivadas das duas partes da função separadamente.

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, para x ≤ 1 , temos:

f x = a x 2 + b ∴

f ' x = 2 a x

Para o ponto x = 1 , temos:

f ' 1 = 2 a * 1 ∴

f ' 1 = 2 a

Passo 3

Por outro lado, para x > 1 , temos:

f x = 1 x 2 ∴

f ' x = - 2 x 3

Para o ponto x = 1 , temos:

f ' 1 = - 2 1 3 ∴

f ' 1 = - 2

Passo 4

Agora, para que f ' ( 1 ) exista, as derivadas das duas partes da função devem ser iguais em x   =   1 , portanto, temos a seguinte equação:

2 a = - 2 ∴

a = - 1

Agora, podemos substituir o valor de a na função original para encontrar o valor de b .

Usando a função para x   ≤   1 :

f x = a x 2 + b ∴

f x = - x 2 + b

Sabemos que f 1 = 2 , logo:

2 = - 1 2 + b ∴

b = 3

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

a = - 1

b = 3

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