Determine as constantes a e b de modo que f ' 2 exista se

f x = a x 3 + b x 2 ,     x ≤ 2 x + 2 ,     x > 2

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinar as constantes a e b de forma que a derivada de f x no ponto x = 2 exista.

Para isso, temos que:

f x = a x 3 + b x 2 ,     x ≤ 2 x + 2 ,     x > 2

Bom... Para determinar as constantes a e b de modo que a derivada de f ( x ) exista em x   =   2 , vamos calcular as derivadas das duas partes da função separadamente.

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, para x ≤ 2 , temos:

f x = a x 3 + b x 2 ∴

f ' x = 3 a x 2 + 2 b x

Para o ponto x = 2 , temos:

f ' 2 = 3 a 2 2 + 2 b 2 ∴

f ' 2 = 12 a + 4 b

Passo 3

Por outro lado, para x > 2 , temos:

f x = x + 2 ∴

f ' x = 1 2 x + 2

Para o ponto x = 2 , temos:

f ' 2 = 1 2 2 + 2 ∴

f ' 2 = 1 4

Passo 4

Agora, para que f ' ( 2 ) exista, as derivadas das duas partes da função devem ser iguais em x   =   2 , portanto, temos a seguinte equação:

12 a + 4 b = 1 4 ∴

48 a + 16 b = 1

Dessa forma, como não temos outra equação que relaciona a com b , não podemos determinar os valores de cada um.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Não é possível determinar os valores de a e b

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