Determine as constantes a e b de modo que f ' π / 2 exista se

f x = a x 2 + b ,     0 ≤ x ≤ π / 2 cos ⁡ x ,     π / 2 ≤ x ≤ 2 π

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinar as constantes a e b de forma que a derivada de f x no ponto x = π / 2 exista.

Para isso, temos que:

f x = a x 2 + b ,     0 ≤ x ≤ π / 2 cos ⁡ x ,     π / 2 ≤ x ≤ 2 π

Bom... Para determinar as constantes a e b de modo que a derivada de f ( x ) exista em x   =   π / 2 , vamos calcular as derivadas das duas partes da função separadamente.

E aí? Bora lá??!!

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Passo 2

Assim, para 0 ≤ x ≤ π / 2 , temos:

f x = a x 2 + b ∴

f ' x = 2 x a

Para o ponto x = π 2 , temos:

f ' π 2 = 2 a * π 2 ∴

f ' π 2 = a π

Passo 3

Por outro lado, para π / 2 ≤ x ≤ 2 π , temos:

f x = cos ⁡ x ∴

f ' x = - sin ⁡ x

Para o ponto x = π / 2 , temos:

f ' π 2 = - sin ⁡ π 2 ∴

f ' π 2 = - 1

Passo 4

Agora, para que f ' ( π / 2 ) exista, as derivadas das duas partes da função devem ser iguais em x   = π / 2 , portanto, temos a seguinte equação:

a π = - 1 ∴

a = - 1 π

Agora, podemos substituir o valor de a na função original para encontrar o valor de b .

Utilizando a função para 0 ≤ x ≤ π / 2 , para o ponto x = π 2 , temos:

1 = - 1 4 π + b ∴

b = 1 + π 4

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

a = - 1 π

b = 1 + π 4

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