UFSC; Cálculo 1; Lista 1.4 – Limites laterais; Exercício C4
C4. Determine e para que e existam, em que é a função dada por
Passo 1
Faaaaala, galerinha! Tudo certo com vocês? Bora lá resolver mais uma questãozinha então!
Antes de qualquer coisa, vamos entender melhor o que está acontecendo nesse exercício aqui!
O enunciado nos dá então dois limites, e nos pede para determinar e a partir deles.
Tá, mas como vamos fazer isso?? Por onde vamos começar?
Se você continuar lendo o enunciado, vai ver que ele nos deu uma informação muito importante: valores para para quando estiver dentro de algum valor ou alguma condição! Isso vai fazer com que a gente consiga resolver o nosso enunciado!
Mas como vamos usar isso ao nosso favor?
Como a gente já disse, o enunciado deu dois limites. E ele pede os valores de e que estão em para que esses dois limites existam. Então, antes de tudo vamos determinar para quais valores de os limites existem, e a partir disso ver qual será a nossa função, e calcular então e !
Bora lá então!
Passo 2
Avaliando então o nosso primeiro limite, , vemos que tende a. Portando, pode adotar dois valores que se enquadram nessa condição: e .
Então, para que esse limite exista, os limites dessas duas funções deve ser o mesmo:
Como não é contínuo em precisamos calcular o limite lateral pela esquerda.
Mas como fazemos isso??
Vamos lá que eu te ensino!
Como é aproximação pela esquerda, vamos pegar valores que tendem a -1 pela esquerda, ou seja, valores menores que 1.
Então, assumindo :
Assumindo :
Assumindo :
Assumindo
Ou seja, a partir disso podemos ver que quanto mais o limite tende a , mais o resultado tende a , então o limite é !
Avaliando o outro lado da equação , vemos que o limite é contínuo no ponto , então, vamos ter que:
Olha só que legal! Achamos os dois lados da equação em função de e . Agora podemos estabelecer uma relação entre eles:
Passo 3
Avaliando agora o nosso segundo limite, vamos seguir a mesma linha de raciocínio do passo 2.
Então, para que exista, precisamos que:
Como é contínuo em , então:
Mas, como não é contínuo em , precisamos calcular o limite lateral pela direita:
Assumindo :
Assumindo :
Assumindo :
Ou seja, podemos assumir que o limite é !
Portanto:
Passo 4
Agora que já temos uma relação com e para cada um dos limites dados no enunciado, vamos juntar os resultados obtidos para encontrados no passo 2 e 3 respectivamente, e a partir disso encontraremos . Em seguida, podemos usar o valor encontrado para encontrar !
Então:
Substituindo esse valor em :
Prontinho!! Encontramos o que o enunciado nos pediu!
Até que foi tranquilo de resolver, fala aí!
Bora lá resolver mais uma então?