2.1) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe exibindo caminhos que levam a limites diferentes ou para os quais o limite não existe

a) lim x , y → 5 , - 2 ⁡ x 4 + 4 x 3 y - 5 x y 2

b) lim x , y → 6,3 ⁡ x y cos ⁡ x - 2 y

c) lim x , y → 1,0 ⁡ ln ⁡ 1 + y 2 x 2 + x y

d) lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + sen 2 ⁡ y 2 x 2 + y 2

e) Dica: considere os caminhos C 1 : x , 0 ,   C 2 : 0 , x ,   C 3 : x , ± x 2

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y e y x 2 + 4 y 2

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão vamos calcular o limite, se ele existe, ou mostrar que o limite não existe exibindo caminhos que levam a limites diferentes.

A primeira coisa que vamos fazer é substituir os valores para onde x e y estão tendendo na função. Se der bonitinho, o limite já está calculado.

Maaas se der alguma indeterminação, vamos verificar se o limite existe mesmo com caminhos diferentes.

Passo 2

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y e y x 2 + 4 y 2

Substituindo os valores:

= 0 2 0 e 0 0 2 + 4 0 2

= 0 0

Putz... deu indeterminação 0/0.

Passo 3

Vamos verificar se o limite realmente existe.

Vamos começar usando o caminho genérico x = m y :

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y e y x 2 + 4 y 2 = lim y → 0 ⁡ m y 2 y e y m y 2 + 4 y 2

Como o valor do limite depende de m, então depende do caminho. Logo o limite não existe.

Resposta

Não existe

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