4. Determine os seguintes limites

(b) lim x → - ∞ ⁡ x 5 e - x e lim x → + ∞ ⁡ x 5 e - x ;

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, nosso objetivo é obter os limites laterais da função x 5 e - x para x tendendo a - ∞ e para x tendendo a , ou seja, queremos obter uma assíntota horizontal da função.

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

O limite de uma função é um conceito fundamental da matemática que descreve o comportamento da função à medida que a variável independente se aproxima de um determinado valor.

As assíntotas horizontais são linhas horizontais para as quais a função se aproxima à medida que a variável independente se aproxima do infinito ou menos infinito. Podemos usar o conceito de limite para encontrar essas assíntotas.

Para encontrar uma assíntota horizontal y = L , onde L é um número real, precisamos verificar se o limite da função f x quando x se aproxima do infinito ou menos infinito é igual a L . Isso pode ser denotado por:

lim x → ± ∞ ⁡ f x = L

Se o limite acima existe e é igual a L , então a reta y = L é uma assíntota horizontal da função. Se o limite não existe ou é infinito, a função não possui uma assíntota horizontal.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Para x tendendo a - ∞ , temos

lim x → - ∞ ⁡ x 5 e - x

Aplicando o método de substituição, temos

lim x → - ∞ ⁡ x 5 e - x = - ∞ 5 e - - ∞

lim x → - ∞ ⁡ x 5 e - x = - ∞ · e ∞

Simplificando...

lim x → - ∞ ⁡ x 5 e - x = - ∞ · ∞

lim x → - ∞ ⁡ x 5 e - x = - ∞

Assim, se x tende a - ∞ a função x 5 e - x também tende a - ∞ .

Entendeu? 👀

Passo 3

Agora fazemos o mesmo para x tendendo a

lim x → + ∞ ⁡ x 5 e - x

Aplicando o método de substituição, temos

lim x → + ∞ ⁡ x 5 e - x = ∞ 5 e - ∞

lim x → + ∞ ⁡ x 5 e - x = ∞ · 0

Nesse caso, perceba que e - x tende a 0 muito mais rápido que x 5 tende a , então podemos dizer que ∞ · 0 = 0

lim x → + ∞ ⁡ x 5 e - x = 0

Assim, vemos que a função não possui assíntotas, primeiro porque lim x → - ∞ ⁡ x 5 e - x = - ∞ e segundo porque os limites divergiram.

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

lim x → - ∞ ⁡ x 5 e - x = - ∞

lim x → + ∞ ⁡ x 5 e - x = 0

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