1) Encontre, caso existam, os limites abaixo:

d) lim n → ∞ ⁡ n 6 n + 1 - 6 n

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos que verificar se o limite lim n → ∞ ⁡ n 6 n + 1 - 6 n existe ou não.

Parece complicado? 🤔

Para obter a solução desse problema, podemos tentar manipular a função do limite para simplificar as nossas contas...

Bora ver o que podemos fazer? 👀

Passo 2

A função é dada por

f n = n 6 n + 1 - 6 n

Vamos multiplicar e dividir a função f pelo conjugado de n 6 n + 1 - 6 n

f n = n 6 n + 1 - 6 n n 6 n + 1 + 6 n n 6 n + 1 + 6 n

Simplificando...

f n = n 6 n + 1 - 6 n 6 n + 1 + 6 n 6 n + 1 + 6 n

f n = n 6 n + 1 - 6 n 6 n + 1 + 6 n 6 n + 1 + 6 n

Calculando o produto 6 n + 1 - 6 n 6 n + 1 + 6 n , temos

f n = n 6 n + 1 - 6 n 6 n + 1 + 6 n

f n = n 1 6 n + 1 + 6 n

Agora dividimos o numerador e o denominador por n

f n = n 1 n 6 n + 1 + 6 n n

f n = 1 6 n + 1 n + 6 n n

f n = 1 6 + 1 n + 6

E finalmente, aplicando o limite nessa nova cara de f n , temos

lim n → ∞ ⁡ 1 6 + 1 n + 6

Perceba que o termo 1 n tende a 0 quando n tende a ...

lim n → ∞ ⁡ 1 6 + 1 n + 6 = 1 6 + 0 + 6

lim n → ∞ ⁡ 1 6 + 1 n + 6 = 1 2 6

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

lim n → ∞ ⁡ n 6 n + 1 - 6 n = 1 2 6

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