Encontre o ponto sobre a curva y = 3 / x (definida para x > 0 ) que está mais próximo da origem.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos pediu pra encontrar o ponto sobre a curva y = 3 x que está mais próximo da origem.

A origem é dada pelo ponto ( 0 ,   0 ) , certo? E a gente sabe que a distância entre dois pontos em um plano cartesiano pode ser escrita por:

d = x - x 0 2 + y - y 0 2

Onde x e y são os pontos finais de interesse e o subscrito indica o ponto de origem. No nosso caso, temos x ,   y = x , 3 x e x 0 ,   y 0 = ( 0 ,   0 ) . Portanto, teríamos a distância:

d = x 2 + 9 x 2

Mas a gente quer o ponto mais próximo da origem, então precisamos minimizar a função que está dentro da raiz. Para isso, basta derivar f x = x 2 + 9 x 2 , igualar a zero, encontrar o valor de x e substituir no ponto x , 3 x .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando f x = x 2 + 9 x 2 :

f ' x = 2 x - 18 x 3

Igualando a zero, temos:

2 x - 18 x 3 = 0

2 x 4 - 18 = 0

x 4 = 9

x = 3 2 4 = 3

Então, x = 3 , minimizará a distância e nosso ponto será x , 3 x = 3 , 3 3 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

3 , 3 3

Exercícios de Livros Relacionados

Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ π x do Exemplo 4 na janela retangular - 1,1 por - 1,1 . Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função.
Estime o valor do limite lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x Com 5 casas decimais. Esse número lhe parece familiar?Confirme sua resposta da letra (a) fazendo o gráfico da função.
Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
Use o gráfico da função f x = 1 1 + e 1 x Para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ f x lim x → 0 + ⁡ f x lim x → 0 ⁡ f ( x )
Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5