Encontre o ponto sobre a curva y = 3 / x (definida para x > 0 ) que está mais próximo da origem.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos pediu pra encontrar o ponto sobre a curva y = 3 x que está mais próximo da origem.

A origem é dada pelo ponto ( 0 ,   0 ) , certo? E a gente sabe que a distância entre dois pontos em um plano cartesiano pode ser escrita por:

d = x - x 0 2 + y - y 0 2

Onde x e y são os pontos finais de interesse e o subscrito indica o ponto de origem. No nosso caso, temos x ,   y = x , 3 x e x 0 ,   y 0 = ( 0 ,   0 ) . Portanto, teríamos a distância:

d = x 2 + 9 x 2

Mas a gente quer o ponto mais próximo da origem, então precisamos minimizar a função que está dentro da raiz. Para isso, basta derivar f x = x 2 + 9 x 2 , igualar a zero, encontrar o valor de x e substituir no ponto x , 3 x .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando f x = x 2 + 9 x 2 :

f ' x = 2 x - 18 x 3

Igualando a zero, temos:

2 x - 18 x 3 = 0

2 x 4 - 18 = 0

x 4 = 9

x = 3 2 4 = 3

Então, x = 3 , minimizará a distância e nosso ponto será x , 3 x = 3 , 3 3 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

3 , 3 3

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