Encontre a e b que torne a função f ( x ) contínua:

f x =   s e n x x ,     s e   x < 0 b ,                                     s e   x = 0 x 3 - a ,     s e   x > 0

Passo 1

Fala aí galerinhaaaaa, como vocês tão???

Nessa questão temos uma função f definida por partes, que está escrita com duas constantes: a e b . Queremos determinar a e b de modo que f seja contínua 😊

Pessoal, uma função contínua é quando estamos desenhando uma função no papel e nenhum momento o lápis para de ter contato com o papel, ou seja, o gráfico não tem interrupções.

Sendo assim, se uma função é contínua significa que o valor da função em um determinado ponto tem que ser igual aos limites laterais daquele mesmo ponto. Tendo isso em vista, podemos afirmar que

l i m x → 0 - s e n x x     =   f ( 0 )   =   l i m x → 0 +   x 3 - a

Resolvendo o primeiro limite, temos:

l i m x → 0 - s e n x x    

Como esse limite é do tipo 0 / 0 podemos aplicar L’Hopital:

=   l i m x → 0 - ( s e n x ) ' ( x ) '

=   l i m x → 0 - c o s   x 1 ⁡

=   l i m x → 0 -   c o s ⁡ x

=   l i m x → 0 -   c o s ⁡ 0

=   l i m x → 0 -   1

=   1

Massa! Bora pro próximo!

Passo 2

Agora para f ( 0 ) basta analisarmos nossa função por partes, quando x = 0 temos:

f 0 = b

E por fim temos   l i m x → 0 +   x 3 - a , substituindo x = 0 , encontramos:

l i m x → 0 +   x 3 - a

=   l i m x → 0 +   0 3 - a

=   l i m x → 0 +   - a

Como a também é uma constante podemos afirmar que

l i m x → 0 +   - a

=   - a

Passo 3

Portanto,

l i m x → 0 - s e n x x     =   f ( 0 )   =   l i m x → 0 +   x 3 - a

1   =   b   =   -   a

b = 1   e   a =   - 1

Bons Estudos xuxus! Tchau 😊

Resposta

b = 1   e   a =   - 1

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