1 – Escolha e calcule 3 dos seguintes limites (não utilizar o teorema de L ' H o p i t a l ):

c) lim t → 0 ⁡ s e n 5 t s e n 7 t

lembrando que lim x → 0 ⁡ s e n x x = 1

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema queremos calcular o limite de s e n 5 t s e n 7 t para t tendendo a 0 .

Parece difícil? 👀

Quando calculamos o limite de uma função em um ponto, estamos calculando o valor que a função tende a assumir no ponto.

A primeira coisa que temos que fazer nesses casos é analisar a função, ela é contínua nas proximidades do ponto? Se sim, podemos partir direto para o método de substituição.

Se não der certo, temos que aplicar algum método para nos auxiliar, mas pelo enunciado do problema, não podemos usar o método de L ' H o p i t a l .

Bora lá! 😁

Passo 2

Se analisarmos a função s e n 5 t s e n 7 t vemos que em t = 0 entramos em uma indeterminação 0 / 0 .

Nesse caso temos que fazer umas mudanças na função... multiplicando por 5 t 5 t · 7 t 7 t temos

5 t 5 t 7 t 7 t s e n 5 t s e n 7 t = 5 t 5 t 1 7 t 7 t s e n 5 t s e n 7 t = 5 t s e n 5 t 5 t 1 7 t s e n 7 t 7 t

Colocando 5 t 7 t em evidência, temos

5 t 7 t s e n 5 t 5 t 1 s e n 7 t 7 t = 5 7 s e n 5 t 5 t 1 s e n 7 t 7 t

Se lim ⁡ a · b = lim ⁡ a · lim ⁡ b então

lim t → 0 ⁡ s e n 5 t s e n 7 t = lim t → 0 ⁡ 5 7 · lim t → 0 ⁡ s e n 5 t 5 t · lim t → 0 ⁡ s e n 7 t 7 t

Foi dado que lim x → 0 ⁡ s e n x x = 1 . Então se chamarmos 5 t apenas de t em s e n 5 t 5 t e o mesmo para 7 t no limite de s e n 7 t 7 t temos que lim t → 0 ⁡ s e n 5 t 5 t = 1 e s e n 7 t 7 t = 1 .

E como o limite de uma constante é igual a própria constante, temos que

lim t → 0 ⁡ s e n 5 t s e n 7 t = 5 7 · 1 · 1

lim t → 0 ⁡ s e n 5 t s e n 7 t = 5 7

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

lim t → 0 ⁡ s e n 5 t s e n 7 t = 5 7

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