Estude, por epsilon e delta , o limite de f(x) = 3x + 2 no ponto x = 1 .

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

O enunciado pede para estudarmos, usando ε e δ , o limite da função

f ( x ) = 3 x + 2

no ponto x = 1 . Mas, o que quer dizer isso? Note que não devemos simplesmente resolver o limite como fazemos usualmente! Aqui, vamos usar a chamada definição precisa de limite, que diz

∀   ε > 0   ∃   δ   >   0 tal que se 0 < | x - a | < δ então | f ( x ) - L | < ε

que é uma definição que avalia relações entre a função e seu limite L em termos dos infinitesimais ε e δ . Vamos ver o que podemos analisar usando essa definição! Saca só!

Passo 2

Em nosso caso temos que a = 1 e que f ( x ) = 3 x + 2 , portanto, podemos escrever que

∀   ε > 0   ∃   δ   >   0 tal que se 0 < | x - 1 | < δ então | 3 x + 2 - L | < ε

como temos uma função modular em nossas desigualdades, podemos escrever que

- δ < x - 1 < δ

ou resumindo, temos o intervalo

1 - δ < x < δ + 1

Vamos tentar relacionar este intervalo com o valor de ε . Saca só!

Passo 3

A desigualdade relacionada para ε nos leva ao intervalo

- ε < 3 x + 2 - L < ε

Interessante, temos agora uma limitação para o valor de nossa função, de forma que se escolhermos por exemplo ε = 0,5 e δ = 0,3 , podemos escrever

0,7 < x < 1,3

ou seja, poderíamos, por exemplo, escolher x = 1 , e obter que

- 0,5 < 5 - L < 0,5

De forma que L = 5 obedece a desigualdade acima! Mas note que eu forcei um pouco a barra escolhendo os valores x = 1 e L = 5 , poderia ter escolhido outros valores possíveis dentro dos intervalos. Mas, se diminuirmos arbitrariamente os valores de ε e δ , iremos obter que x é realmente muito próximo de 1 e L é muito próximo de 5 . A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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