Dê exemplo de uma função f tal que l i m x → p | f ( x ) | existe, mas l i m x → p f ( x ) não existe.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Bem… a questão é bastante direta, ela quer um exemplo de função f em que

l i m x → p | f ( x ) | existe

e que

l i m x → p f ( x ) não existe

Aqui, a melhor forma é avaliar funções definidas por partes, e além disso, verificar que para que um limite exista, precisamos que

l i m x → p + [ f ( x ) ] = l i m x → p - [ f ( x ) ] = L

em que ± indica o limite tomado pela direita ou esquerda! Vamos fazer isso!

Passo 2

Na minha opinião, o exemplo mais simples que podemos usar é a função degrau da forma

vamos tentar analisar a existência do limite x → 0 desta função e de seu módulo! Note que

l i m x → 0 + [ f ( x ) ] = a e l i m x → 0 - [ f ( x ) ] = - a

portanto, temos que

l i m x → 0 + [ f ( x ) ] ≠ l i m x → 0 - [ f ( x ) ]

e, portanto, o limite não existe! Mas, o que acontece quando avaliamos o módulo? Saca só!

Passo 3

Quando calculamos o limite do módulo da função, temos que

l i m x → 0 + [ | f ( x ) | ] = | a | = a

quase a mesma coisa, para o outro lado no entanto, temos que

l i m x → 0 - [ | f ( x ) | ] = | - a | = a

Note que agora

l i m x → 0 + [ | f ( x ) | ] = l i m x → 0 - [ | f ( x ) | ] = a

e, portanto, o limite existe! Sendo um exemplo do que o enunciado pediu! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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