Dê um exemplo no qual lim x → 0 ⁡ f ( x ) existe, mas lim x → 0 ⁡ f ( x ) não existe.

Passo 1

Eeeeeita!!! Calma, calma. Vamos juntos aqui que vai dar certo!!

Nessa questão, a gente precisar dar um exemplo de uma função que o limite dela não exista quando x → 0 . Beleza, tem várias ne!

Mas calma, queremos que pro módulo da função, o limite exista nesse mesmo ponto... Como pode o limite da função não existir, mas o limite do módulo existir??

Vamos relembrar que pra um limite existir, precisamos que os limites laterais existam e sejam iguais. Em outras palavras, o limite tendendo pela esquerda deve ser igual ao limite tendendo pela direita.

Em que função, os limites laterais são diferentes, mas no seu módulo os limites são iguais?

Passo 2

Vamos considerar a função f ( x ) a seguir junto com seu gráfico:

f x = - 1 ,   x < 0 1 ,   x ≥ 0

Como se observa pelo gráfico, lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = - 1 e lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = 1 .

Consequentemente, como os limites laterais são diferentes entre si, confirma-se que o limite de f ( x ) quando x tende a 0 não existe, ou seja:

lim x → 0 ⁡ f ( x ) = ∌

Passo 3

No entaaaanto, caso colocássemos o módulo na função f ( x ) , teríamos o seguinte:

f x = 1 ,   x < 0 1 ,   x ≥ 0

Ou seja, seria uma função constante para qualquer valor de x !!!!! Interessante, né?!

E, seguindo essa linha de raciocínio, quando aplicássemos os limites laterais, teríamos que:

lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = 1

Assim, como os limites laterais existem e são iguais, isso quer dizer que lim x → 0 ⁡ f ( x ) existe e é igual a 1.

Legal né?? Vamos para a próxima, valeeeu!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Use o gráfico da função f x = 1 1 + e 1 x Para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ f x lim x → 0 + ⁡ f x lim x → 0 ⁡ f ( x )
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