A figura abaixo ilustra um corpo de massa pendurado no teto de um trem bala por

um fio inextensível de comprimento . Quando o trem possui aceleração, o pêndulo

se encontra inclinado, fazendo um ângulo com a vertical. Pode-se provar que, se é

a aceleração da gravidade local, então . Como temos que , onde a função é a função inversa da

tangente. Supondo que , resolva os itens seguintes.

(a) Sabendo que , encontre

e

(b) Se a aceleração do trem tomar valores cada vez maiores, o ângulo se aproxima de que valor? E se , então tende para algum número?

(c) Faça um esboço dos gráficos de , com suas

assíntotas.

A letra a quer saber quais são

e

Como achamos isso?

Bem vamos começar escrevendo a definição de dentro do limite. Dessa forma temos:

pela linearidade do limite

pela definição da tangente

Então precisamos estudar o comportamento de quando nos aproximamos pela direita. Mas o que aproximar pela direita significa mesmo?

Significa que estamos olhando o comportamento da função perto de olhando apenas os valores maiores que . E de modo análogo definimos aproximar pela esquerda, olhando os valores menores que .

Agora podemos analisar nossa função.

Quando temos que e

Então

Vamos analisar

Assim como no caso anterior, temos que:

Quando temos que e

Então

Um jeito menos algébrico de verificar esses limites é utilizar o ciclo trigonométrico para vermos o comportamento da tangente:

Agora vamos fazer a letra b)

Assim como na letra a), agora queremos saber o comportamento assintótico de para valores de aceleração altos () e baixos () . Como fazemos isso?

O enunciado nos diz que é para uma dada aceleração, então podemos usar essa função. Só relembrando que essa função é dada por:

Como não temos o costume de usar a função arco-tangente ela parece ser assustadora, mas podemos torná-la bem simples com a seguinte interpretação:

O é o ângulo cuja tangente é

Bem mais simples né?

Agora podemos calcular os limites de interesse:

Que limite é esse? Qual é o ângulo cuja tangente é infinita?

Usando o resultado da letra a), vemos que esse ângulo é

De forma análoga, calculamos

Que limite é esse? Qual é o ângulo cuja tangente é menos infinito?

Usando o resultado da letra a), vemos que esse ângulo é

Para finalizar a questão, só nos resta responder a letra c)

Nosso objetivo é fazer um esboço dos gráficos de e de .

Vamos começar com gráfico de

pelo enunciado, sabemos que:

então seu gráfico é parecido com o gráfico da tangente, mas seus valores são 10 vezes maiores. Então o gráfico fica:

Mas e o gráfico de ? Como é a função inversa de , seu gráfico será a reflexão do gráfico de sobre a reta

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Calculo 1, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!