A figura abaixo ilustra um corpo de massa m > 0 pendurado no teto de um trem bala por

um fio inextensível de comprimento L > 0 . Quando o trem possui aceleração, o pêndulo

se encontra inclinado, fazendo um ângulo θ   com a vertical. Pode-se provar que, se g é

a aceleração da gravidade local, então a ( θ )   =   g   t g ( θ )   . Como θ   ∈   ( - π / 2 ,   π / 2 ) , temos que θ ( a )   =   a r c t g ( a / g ) , onde a função a r c t g   :   R   →   ( - π / 2 ,   π / 2 )   é a função inversa da

tangente. Supondo que g   =   10   m / s 2 , resolva os itens seguintes.

(a) Sabendo que t g ( θ )   =   s i n   ( θ ) /   c o s ( θ ) , encontre

l i m θ   →   π + / 2     a ( θ )   e l i m θ   →   π - / 2     a ( θ )

(b) Se a aceleração do trem tomar valores cada vez maiores, o ângulo θ ( a ) se aproxima de que valor? E se a   →   - ∞ , então θ ( a ) tende para algum número?

(c) Faça um esboço dos gráficos de a ( θ )   e   θ ( a ) , com suas

assíntotas.

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Como de costume, vamos anotar as informações importantes do enunciado. Sabemos que:

a ( θ )   =   g   t g ( θ )

θ ( a )   =   a r c t g ( a / g )

g   =   10   m / s 2

Vamos começar resolvendo a letra a)

Passo 2

A letra a quer saber quais são

l i m θ   →   π + / 2     a ( θ )   e l i m θ   →   π - / 2     a ( θ )

Como achamos isso?

Bem vamos começar escrevendo a definição de a ( θ )   dentro do limite. Dessa forma temos:

l i m θ   →   π + / 2     a ( θ )  

= l i m θ   →   π + / 2     g   t g ( θ )  

pela linearidade do limite

= 10 l i m θ   →   π + / 2     t g ( θ )  

pela definição da tangente

= 10 l i m θ   →   π + / 2     s i n ( θ ) / c o s ( θ )  

Então precisamos estudar o comportamento de s i n ( θ ) / c o s ( θ ) quando nos aproximamos θ   → π + / 2 pela direita. Mas o que aproximar pela direita significa mesmo?

Significa que estamos olhando o comportamento da função perto de π / 2 olhando apenas os valores maiores que π / 2 . E de modo análogo definimos aproximar pela esquerda, olhando os valores menores que π / 2 .

Agora podemos analisar nossa função.

Quando θ   → π + / 2 temos que s i n ( θ )   →   1 e c o s ( θ )   →   0 -

Então s i n ( θ ) / c o s ( θ )   → -   ∞

Vamos analisar l i m θ   →   π - / 2     a ( θ )

Assim como no caso anterior, temos que:

Quando θ   → π - / 2 temos que s i n ( θ )   →   1 e c o s ( θ )   →   0 +

Então s i n ( θ ) / c o s ( θ )   →   + ∞

Um jeito menos algébrico de verificar esses limites é utilizar o ciclo trigonométrico para vermos o comportamento da tangente:

Passo 3

Agora vamos fazer a letra b)

Assim como na letra a), agora queremos saber o comportamento assintótico de θ   para valores de aceleração altos ( ) e baixos ( - ∞ ) . Como fazemos isso?

O enunciado nos diz que é θ para uma dada aceleração, então podemos usar essa função. Só relembrando que essa função é dada por:

θ ( a )   =   a r c t g ( a / g )

Como não temos o costume de usar a função arco-tangente ela parece ser assustadora, mas podemos torná-la bem simples com a seguinte interpretação:

O   a r c t g ( x ) é o ângulo cuja tangente é   x

Bem mais simples né?

Agora podemos calcular os limites de interesse:

l i m θ a → ∞ ( a )

= l i m a → ∞ a r c t g ( a / g )

Que limite é esse? Qual é o ângulo cuja tangente é infinita?

Usando o resultado da letra a), vemos que esse ângulo é π / 2

De forma análoga, calculamos l i m θ a → - ∞ ( a )

l i m θ a → - ∞ ( a )

= l i m a → - ∞ a r c t g ( a / g )

Que limite é esse? Qual é o ângulo cuja tangente é menos infinito?

Usando o resultado da letra a), vemos que esse ângulo é - π / 2

Passo 4

Para finalizar a questão, só nos resta responder a letra c)

Nosso objetivo é fazer um esboço dos gráficos de θ ( a )   e de a ( θ )   .

Vamos começar com gráfico de a ( θ )  

pelo enunciado, sabemos que:

a ( θ )   =   g   t g ( θ )

então seu gráfico é parecido com o gráfico da tangente, mas seus valores são 10 vezes maiores. Então o gráfico fica:

Mas e o gráfico de θ ( a )   ? Como θ ( a )   é a função inversa de a ( θ )   , seu gráfico será a reflexão do gráfico de a ( θ )   sobre a reta x = y

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Calculo 1, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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