UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas - Prof° Pammella Queiroz - Lista 1 - 2022.1, Questão 2.6c
Mostre que
c) Use a desigualdade .
Passo 1
Fala aí pessoal, tudo bem?
Nessa questão precisamos provar que o limite:
tende a infinito.
Para fazer isso, a questão nos dá a dica de usar a desigualdade:
Bom, até pra entender melhor o que está acontecendo aqui, devemos começar esse limite substituindo os valores que estão tendendo e ver o que acontece:
Puts, uma lindíssima indeterminação!
Então, vamos seguir a estratégia do enunciado e buscar usar a desigualdade dada pra resolver o problema, beleza?
Vamo nessa!
Passo 2
O enunciado nos falou da desigualdade:
Bora dar uma olhada no nosso limite e pensar em como podemos utilizá-la:
Lembra que queremos provar que esse limite tende a infinito. Assim, precisamos usar a desigualdade para mostrar que:
é maior do que uma outra expressão que conhecemos o seu limite, e que também tende a infinito. Sacaram?
Daí, podemos fazer o seguinte:
Como:
Se dividirmos ambos os lados da desigualdade por (que é positivo e não altera o sentido da desigualdade), temos:
Usando uma ideia semelhante ao teorema do confronto, podemos afirmar que:
Massa! Se mostrarmos então que o limite do lado direito tende a , concluímos nossa demonstração.
Passo 3
Agora nossa missão é calcular:
Podemos usar que:
Daí:
Se agora substituirmos pelo número que eles estão tendendo, ou seja, , vem que:
Isso daí com certeza tende a .
Então, pensa junto comigo:
Se:
E, vimos que:
Podemos afirmar que:
Como queríamos demonstrar! Hahaha
Conseguimos gente! Muito obrigado pela atenção de vocês!
Até a próxima 😊
Resposta
Resposta no texto.