Mostre que

c) lim x , y → 0,0 ⁡ x + y x 2 + y 2 = ∞ . Use a desigualdade x 2 + y 2 ≤ x + | y | .

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo bem?

Nessa questão precisamos provar que o limite:

lim x , y → 0,0 ⁡ x + y x 2 + y 2

tende a infinito.

Para fazer isso, a questão nos dá a dica de usar a desigualdade:

x 2 + y 2 ≤ x + | y |

Bom, até pra entender melhor o que está acontecendo aqui, devemos começar esse limite substituindo os valores que ( x , y ) estão tendendo e ver o que acontece:

lim x , y → 0,0 ⁡ x + y x 2 + y 2 = 0 + 0 0 2 + 0 2 = 0 0

Puts, uma lindíssima indeterminação!

Então, vamos seguir a estratégia do enunciado e buscar usar a desigualdade dada pra resolver o problema, beleza?

Vamo nessa!

Passo 2

O enunciado nos falou da desigualdade:

x 2 + y 2 ≤ x + y

Bora dar uma olhada no nosso limite e pensar em como podemos utilizá-la:

lim x , y → 0,0 ⁡ x + y x 2 + y 2

Lembra que queremos provar que esse limite tende a infinito. Assim, precisamos usar a desigualdade para mostrar que:

x + y x 2 + y 2

é maior do que uma outra expressão que conhecemos o seu limite, e que também tende a infinito. Sacaram?

Daí, podemos fazer o seguinte:

Como:

x + y ≥ x 2 + y 2

Se dividirmos ambos os lados da desigualdade por x 2 + y 2 (que é positivo e não altera o sentido da desigualdade), temos:

x + y x 2 + y 2 ≥ x 2 + y 2 x 2 + y 2

Usando uma ideia semelhante ao teorema do confronto, podemos afirmar que:

lim x , y → 0,0 ⁡ x + y x 2 + y 2 ≥ lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2

Massa! Se mostrarmos então que o limite do lado direito tende a , concluímos nossa demonstração.

Passo 3

Agora nossa missão é calcular:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2

Podemos usar que:

x 2 + y 2 = x 2 + y 2 2

Daí:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 = lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 2

= lim x , y → 0,0 ⁡ 1 x 2 + y 2    

Se agora substituirmos ( x , y ) pelo número que eles estão tendendo, ou seja, ( 0,0 ) , vem que:

lim x , y → 0,0 ⁡ 1 x 2 + y 2 = 1 0 2 + 0 2

Isso daí com certeza tende a .

Então, pensa junto comigo:

Se:

lim x , y → 0,0 ⁡ x + y x 2 + y 2 ≥ lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2

E, vimos que:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 = ∞

Podemos afirmar que:

lim x , y → 0,0 ⁡ x + y x 2 + y 2 = ∞

Como queríamos demonstrar! Hahaha

Conseguimos gente! Muito obrigado pela atenção de vocês!

Até a próxima 😊

Resposta

Resposta no texto.

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