Prove por ε e δ que se f ( x ) = 3 x + 2 então l i m x → 1 f ( x ) = 5 .

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

O enunciado pede para provarmos, usando ε e δ , que

l i m x → 1 f ( x ) = l i m x → 1 3 x + 2 = 5

Mas, o que quer dizer isso? Note que não devemos simplesmente resolver o limite como fazemos usualmente! Aqui, vamos usar a chamada definição precisa de limite, que diz

∀   ε > 0   ∃   δ   >   0 tal que se 0 < | x - a | < δ então | f ( x ) - L | < ε

que é uma definição que avalia relações entre a função e seu limite L em termos dos infinitesimais ε e δ . Vamos ver o que podemos analisar usando essa definição! Saca só!

Passo 2

Em nosso caso temos que a = 1 e que L = 5 , portanto, podemos escrever que

∀   ε > 0   ∃   δ   >   0 tal que se 0 < | x - 1 | < δ então | 3 x + 2 - 5 | < ε

ou seja, precisamos obter δ que obedeça a desigualdade

0 < | x - 1 | < δ

como temos uma função modular em nossas desigualdades, podemos escrever que

- δ < x - 1 < δ

ou resumindo, temos o intervalo

1 - δ < x < δ + 1

também é preciso que ε obedecendo a seguinte desigualdade

| 3 x - 3 | < ε

ou, analogamente ao feito acima, temos que

- ε < 3 x - 3 < ε

ou simplificando, temos que

1 - ε / 3 < x < ε / 3 + 1

Provar que o limite está correto e evidenciar que podemos escolher δ e ε arbitrariamente pequenos, e as desigualdades ainda tem validade! Vamos tentar fazer isso então!

Passo 3

Vamos escolher um ε = 0,001 , isso nos dá a desigualdade

0,9997 < x < 1,0003

se, escolhermos um valor ainda menor para δ , como por exemplo δ = 0,0001 , temos que

0,9999 < x < 1,0001

ainda é possível achar um valor de x que obedeça ambas as desigualdades, em particular, x = 1 . Dessa forma, podemos garantir que

l i m x → 1 3 x + 2 = 5

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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Use o gráfico da função f x = 1 1 + e 1 x Para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ f x lim x → 0 + ⁡ f x lim x → 0 ⁡ f ( x )
Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5