UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Prof° Ricardo Martins - Listas sobre Limites e Continuidade, Questão 1.9
Prove que se então .
Passo 1
Oiie, tudo certinho?
O enunciado pede para provarmos que
Mas, o que quer dizer isso? Note que não devemos simplesmente resolver o limite como fazemos usualmente! Aqui, vamos usar a chamada definição precisa de limite, que diz
tal que se então
que é uma definição que avalia relações entre a função e seu limite em termos dos infinitesimais e . Vamos ver o que podemos analisar usando essa definição! Saca só!
Passo 2
Em nosso caso temos que e que , portanto, podemos escrever que
tal que se então
ou seja, precisamos obter que obedeça a desigualdade
como temos uma função modular em nossas desigualdades, podemos escrever que
ou resumindo, temos o intervalo
também é preciso que obedeça a seguinte desigualdade
ou, analogamente ao feito acima, temos que
ou simplificando, temos que
Provar que o limite está correto e evidenciar que podemos escolher e arbitrariamente pequenos, e as desigualdades ainda tem validade! Vamos tentar fazer isso então!
Passo 3
Vamos escolher um , isso nos dá a desigualdade
se, escolhermos um valor ainda menor para , como por exemplo , temos que
ainda é possível achar um valor de que obedeça ambas as desigualdades, em particular, . Dessa forma, podemos garantir que
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Ao longo dos passos!