1. Seja

f x = x 2 + x x 2 - 1 ,     s e   x < - 1 x + 2 - 1 x + 1 ,     s e   x > - 1

Calcule, caso exista,

lim x → - 1 ⁡ f x  

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema foi dada uma função definida por partes em que para x < - 1 a função é definida por x 2 + x x 2 - 1 mas para x > - 1 a função é definida por x + 2 - 1 x + 1 .

Com isso queremos calcular o lim x → - 1 ⁡ f x .

Tem ideia de como fazer isso? 😉

O limite de uma função em um ponto nada mais é do que o valor que a função tende a assumir naquele ponto.

Dessa forma, para o limite de f x existir em x = - 1 , os limites de x 2 + x x 2 - 1 e x + 2 - 1 x + 1 tem que convergirem para o mesmo valor em x = - 1 .

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Primeiro vamos calcular o limite de x 2 + x x 2 - 1 para x → - 1

lim x → - 1 ⁡ x 2 + x x 2 - 1

Se aplicarmos o ponto - 1 , vamos cair em uma indeterminação 0 / 0 , então o que podemos fazer é aplicar a regra de L’Hopital e derivar no numerador e o denominador

lim x → - 1 ⁡ x 2 + x x 2 - 1 → lim x → - 1 ⁡ d x 2 + x d x d x 2 - 1 d x

lim x → - 1 ⁡ 2 x + 1 2 x

Substituindo o ponto x = - 1

lim x → - 1 ⁡ x 2 + x x 2 - 1 = lim x → - 1 ⁡ 2 x + 1 2 x = 2 - 1 + 1 2 - 1

lim x → - 1 ⁡ x 2 + x x 2 - 1 = 1 2

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Agora vamos calcular o limite de x + 2 - 1 x + 1

lim x → - 1 ⁡ x + 2 - 1 x + 1

Novamente vamos cair em uma indeterminação então temos que aplicar a regra de L’Hopital novamente

lim x → - 1 ⁡ d x + 2 - 1 d x d x + 1 d x → lim x → - 1 ⁡ 1 2 x + 2 1

Aplicando o ponto

lim x → - 1 ⁡ x + 2 - 1 x + 1 = lim x → - 1 ⁡ 1 2 x + 2 1 = 1 2 - 1 + 2 1

lim x → - 1 ⁡ x + 2 - 1 x + 1 = 1 2

Dessa forma, como os resultados foram os mesmos, então

lim x → - 1 ⁡ f x = 1 2

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

lim x → - 1 ⁡ f x = 1 2

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Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ π x do Exemplo 4 na janela retangular - 1,1 por - 1,1 . Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função.
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Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
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