2. Seja

f x = x 2 + 2 x + 1 x 2 - 1 ,     s e   x < - 1 x + 2 - 1 x + 1 ,     s e   x > - 1

Calcule, caso exista,

lim x → - 1 ⁡ f x  

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema foi dada uma função definida por partes em que para x < - 1 a função é definida por x 2 + 2 x + 1 x 2 - 1 mas para x > - 1 a função é definida por x + 2 - 1 x + 1 .

Com isso queremos calcular o lim x → - 1 ⁡ f x .

Tem ideia de como fazer isso? 😉

O limite de uma função em um ponto nada mais é do que o valor que a função tende a assumir naquele ponto.

Dessa forma, para o limite de f x existir em x = - 1 , os limites de x 2 + 2 x + 1 x 2 - 1 e x + 2 - 1 x + 1 tem que convergirem para o mesmo valor em x = - 1 .

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Primeiro vamos calcular o limite de x 2 + 2 x + 1 x 2 - 1 para x → - 1

lim x → - 1 ⁡ x 2 + 2 x + 1 x 2 - 1

Se aplicarmos o ponto - 1 , vamos cair em uma indeterminação 0 / 0 , então o que podemos fazer é aplicar a regra de L’Hopital e derivar no numerador e o denominador

lim x → - 1 ⁡ x 2 + 2 x + 1 x 2 - 1 → lim x → - 1 ⁡ d x 2 + 2 x + 1 d x d x 2 - 1 d x

lim x → - 1 ⁡ 2 x + 2 2 x

Substituindo o ponto x = - 1

lim x → - 1 ⁡ x 2 + 2 x + 1 x 2 - 1 = lim x → - 1 ⁡ 2 x + 2 2 x = 2 - 1 + 2 2 - 1

lim x → - 1 ⁡ x 2 + 2 x + 1 x 2 - 1 = 0

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Agora vamos calcular o limite de x + 2 - 1 x + 1

lim x → - 1 ⁡ x + 2 - 1 x + 1

Novamente vamos cair em uma indeterminação então temos que aplicar a regra de L’Hopital novamente

lim x → - 1 ⁡ d x + 2 - 1 d x d x + 1 d x → lim x → - 1 ⁡ 1 2 x + 2 1

Aplicando o ponto

lim x → - 1 ⁡ x + 2 - 1 x + 1 = lim x → - 1 ⁡ 1 2 x + 2 1 = 1 2 - 1 + 2 1

lim x → - 1 ⁡ x + 2 - 1 x + 1 = 1 2

Dessa forma, como os resultados foram diferentes, então o limite não existe

lim x → - 1 ⁡ f x = ∄

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

lim x → - 1 ⁡ f x = ∄

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