3. Seja

f x = x 2 + 5 x + 6 x 2 - 9 ,     s e   x < - 3 x + 1 2 - 3 x + 3 ,     s e   x > - 3

Calcule, caso exista,

lim x → - 3 ⁡ f x

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema foi dada uma função definida por partes em que para x < - 3 a função é definida por x 2 + 5 x + 6 x 2 - 9 mas para x > - 3 a função é definida por x + 12 - 3 x + 3 .

Com isso queremos calcular o lim x → - 3 ⁡ f x .

Tem ideia de como fazer isso? 😉

O limite de uma função em um ponto nada mais é do que o valor que a função tende a assumir naquele ponto.

Dessa forma, para o limite de f x existir em x = - 3 , os limites de x 2 + 5 x + 6 x 2 - 9 e x + 12 - 3 x + 3 tem que convergirem para o mesmo valor em x = - 3 .

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Primeiro vamos calcular o limite de x 2 + 5 x + 6 x 2 - 9 para x → - 3

lim x → - 3 ⁡ x 2 + 5 x + 6 x 2 - 9

Se aplicarmos o ponto - 3 , vamos cair em uma indeterminação 0 / 0 , então o que podemos fazer é aplicar a regra de L’Hopital e derivar no numerador e o denominador

lim x → - 3 ⁡ x 2 + 5 x + 6 x 2 - 9 → lim x → - 3 ⁡ d x 2 + 5 x + 6 d x d x 2 - 9 d x

lim x → - 3 ⁡ 2 x + 5 2 x

Substituindo o ponto x = - 3

lim x → - 3 ⁡ x 2 + 5 x + 6 x 2 - 9 = lim x → - 3 ⁡ 2 x + 5 2 x = 2 - 3 + 5 2 - 3

lim x → - 3 ⁡ x 2 + 5 x + 6 x 2 - 9 = 1 6

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Agora vamos calcular o limite de x + 12 - 3 x + 3

lim x → - 3 ⁡ x + 12 - 3 x + 3

Novamente vamos cair em uma indeterminação então temos que aplicar a regra de L’Hopital novamente

lim x → - 3 ⁡ d x + 12 - 3 d x d x + 3 d x → lim x → - 3 ⁡ 1 2 x + 1 2 1

Aplicando o ponto

lim x → - 3 ⁡ x + 12 - 3 x + 3 = lim x → - 1 ⁡ 1 2 x + 12 1 = 1 2 - 3 + 1 2 1

lim x → - 3 ⁡ x + 12 - 3 x + 3 = 1 6

Dessa forma, como os resultados foram iguais, então o limite existe

lim x → - 3 ⁡ f x = 1 6

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

lim x → - 3 ⁡ f x = 1 6

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