4. Seja

f x = x 2 + 4 x + 4 x 2 - 4 ,     s e   x < - 2 x + 6 - 2 x + 2 ,     s e   x > - 2

Calcule, caso exista,

lim x → - 2 ⁡ f x

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema foi dada uma função definida por partes em que para x < - 2 a função é definida por x 2 + 4 x + 4 x 2 - 4 mas para x > - 2 a função é definida por x + 6 - 2 x + 2 .

Com isso queremos calcular o lim x → - 2 ⁡ f x .

Tem ideia de como fazer isso? 😉

O limite de uma função em um ponto nada mais é do que o valor que a função tende a assumir naquele ponto.

Dessa forma, para o limite de f x existir em x = - 2 , os limites de x 2 + 4 x + 4 x 2 - 4 e x + 6 - 2 x + 2 tem que convergirem para o mesmo valor em x = - 2 .

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Primeiro vamos calcular o limite de x 2 + 4 x + 4 x 2 - 4 para x → - 2

lim x → - 2 ⁡ x 2 + 4 x + 4 x 2 - 4

Se aplicarmos o ponto - 2 , vamos cair em uma indeterminação 0 / 0 , então o que podemos fazer é aplicar a regra de L’Hopital e derivar no numerador e o denominador

lim x → - 2 ⁡ x 2 + 4 x + 4 x 2 - 4 → lim x → - 2 ⁡ d x 2 + 4 x + 4 d x d x 2 - 4 d x

lim x → - 2 ⁡ 2 x + 4 2 x

Substituindo o ponto x = - 2

lim x → - 2 ⁡ x 2 + 4 x + 4 x 2 - 4 = lim x → - 2 ⁡ 2 x + 4 2 x = 2 - 2 + 4 2 - 2

lim x → - 2 ⁡ x 2 + 4 x + 4 x 2 - 4 = 0

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Agora vamos calcular o limite de x + 6 - 2 x + 2

lim x → - 2 ⁡ x + 6 - 2 x + 2

Novamente vamos cair em uma indeterminação então temos que aplicar a regra de L’Hopital novamente

lim x → - 2 ⁡ d x + 6 - 2 d x d x + 2 d x → lim x → - 2 ⁡ 1 2 x + 6 1

Aplicando o ponto

lim x → - 2 ⁡ x + 6 - 2 x + 2 = lim x → - 2 ⁡ 1 2 x + 6 1 = 1 2 - 2 + 6 1

lim x → - 2 ⁡ x + 6 - 2 x + 2 = 1 4

Dessa forma, como os resultados foram diferentes, então o limite não existe

lim x → - 2 ⁡ f x = ∄

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

lim x → - 2 ⁡ f x = ∄

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