11. Seja

f x = 9 - x 2 4 - x 2 + 7 ,   s e x > 3 6 + x + a 3 ,   s e   x ≤ 3

Determine os valores de a para que lim x → 3 ⁡ f x exista.

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Para resolver essa questão temos que lembrar de uma coisinha: para o limite existir, os seus limites laterais tem que ser iguais, ou seja,

lim x → 3 ⁡ f x = lim x → 3 + ⁡ f x = lim x → 3 - ⁡ f x

A condição que o problema nos dá para encontrar a é que lim x → 3 ⁡ f x exista. Agora repara que o ponto x = 3 é, justamente, o ponto em que a função muda de comportamente.

Em outras palavras, vamos ter que avaliar esses limites laterais para encontrar quem é   a .

Passo 2

Fazendo por lim x → 3 ⁡ f x .

Temos que para valores menores que 3 , a função tem esse comportamento 6 + x + a 3 Então vamos fazer,

lim x → 3 - ⁡ f x = lim x → 3 - ⁡ 6 + x + a 3 = 6 + 3 + a 3

Passo 3

Agora vamos olhar para valores maiores que 3 , onde a função terá esse comportamento 9 - x 2 4 - x 2 + 7 . Logo,

lim x → 3 + ⁡ f x = lim x → 3 + ⁡ 9 - x 2 4 - x 2 + 7 = 9 - 3 2 4 - 3 2 + 7 = 0 0

Opa, caímos em uma indeterminação! Como temos uma raiz quadrada menos uma constante no demonimador, a estratégia será multiplicar pelo seu conjugado.

lim x → 3 + ⁡ 9 - x 2 4 - x 2 + 7 = lim x → 3 + ⁡ 9 - x 2 4 - x 2 + 7 . 4 + x 2 + 7 4 + x 2 + 7

= lim x → 3 + ⁡   9 - x 2 4 + x 2 + 7 9 - x 2

Simplificando,

= lim x → 3 + ⁡ 4 + x 2 + 7 = 4 + 3 2 + 7 = 8

Passo 4

E como para lim x → 3 ⁡ f x existir temos que

lim x → 3 - ⁡ f x = lim x → 3 + ⁡ f x

Podemos dizer que,

6 + 3 + a 3 = 8

Agora podemos isolar quem é a e descobrir seu valor,

3 + a 3 = 2

3 + a = 2 3

3 + a = 8

a = 8 - 3

a = 5

Prontinho!

Resposta

a = 5

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