10. Seja
Determine os valores de e para que e existam.
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Para resolver essa questão temos que lembrar de uma coisinha: para o limite existir, os seus limites laterais tem que ser iguais, ou seja,
A condição que o problema nos dá para encontrar e é que e existam. Agora repara que os pontos e são, justamente, os pontos em que a função muda de comportamente.
Em outras palavras, vamos ter que avaliar esses limites laterais para encontrar quem é e .
Passo 2
Começando por .
Temos que para valores menores que , a função tem esse comportamento . Então vamos fazer,
Agora vamos olhar para valores maiores que , onde a função terá esse comportamento . Logo,
E como para existir temos que
Podemos dizer que,
Opaaa, temos uma equação e duas icognitas! Então vamos avaliar a próxima condição para montar esse sistema.
Passo 3
Fazendo agora .
Temos que para valores menores que , a função tem esse comportamento . Então vamos fazer,
Agora vamos olhar para valores maiores que , onde a função terá esse comportamento . Logo,
E como para existir temos que
Podemos dizer que,
Agora vamos montar o sistema!
Passo 4
Juntando as duas informações temos que
Pela segunda linha do sistema, temos que
Substituindo na primeira linha, ficamos com
Logo,