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Exercícios Resolvidos de Limites Laterais e Existência do Limite

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Enunciado

3. Seja

f x = x 2 + 1 ,   s e   x < 1 x - 2 2 ,   s e   x ≥ 1

  1. Encontre lim x → 1 - ⁡ f x e lim x → 1 + ⁡ f x .
  2. lim x → 1 ⁡ f x existe?
  3. lim x → 0 ⁡ f x existe?
  4. Esboce o gráfico de f

Passo 1

  1. Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos dois limites para resolver. Ambos tendem a 1 , mas um é pela esquerda e outra pela direita.

    2. Repara também que é justamente em x = 1 , que a função tem uma mudança de comportamento.

    Para valores de x menores que 1 , a função tem essa cara x 2 + 1 . Logo, para calcular x → 1 - , vamos usar essa parte da função. Fica assim:

    lim x → 1 - ⁡ x 2 + 1 = 1 2 + 1 = 2

    Já para x → 1 + , vamos usar a parte x - 2 2 . Fica assim:

    lim x → 1 + ⁡ x - 2 2 = 1 - 2 2 = 1

    Prontinho! Vamos para a próxima!

    Passo 2

  2. Aqui ele quer saber se lim x → 1 ⁡ f x existe. Para isso acontecer, temos que os limites laterais devem ser iguais.

    3. lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ f x

    Porém, como verificamos na letra a, esses limites são diferentes.

    lim x → 1 - ⁡ f x ≠ lim x → 1 + ⁡ f x

    Logo, lim x → 1 ⁡ f x não existe!

    Passo 3

  3. Agora temos que verificar se lim x → 0 ⁡ f x existe. Mas nesse ponto não temos uma mudança de comportamento da função. Então podemos calcular esse limite normalmente.

    4. Como 0 é menor que 1 , vamos usar essa parte da função x 2 + 1 .

    lim x → 0 ⁡ x 2 + 1 = 0 2 + 1 = 1

    Como independente do lado que eu tiver vindo, eu chegarei em 1 (porque essa função é contínua), então o lim x → 0 ⁡ f x existe!

    Passo 4

  4. Para esboçar esse gráfico, temos que fazer primeiro a parte x 2 + 1 , para valores de x < 1 . E depois fazemos a parte x - 2 2 , para valores de x ≥ 1 . Juntando as duas partes, ele ficará assim:

Resposta

  1. lim x → 1 - ⁡ f x = 2 e lim x → 1 + ⁡ f x = 1
  2. Não existe
  3. Existe

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