Seja a função

f(x) = x^3 - 1 / (x + x)^4

Um aluno calculou f(-1/10) e f(1/10) , percebeu que esses números têm sinais

contrários e concluiu que deve existir y ∈ (−1/10, 1/10) tal que f(y) = 0 . Você

concorda com ele? Justifique.

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Queremos

verificar se a afirmação do aluno de que como f   ( − 1 / 10 )   e   f   ( 1 / 10 ) têm sinais contrários então deve existir y   ∈   ( − 1 / 10 ,   1 / 10 ) tal que f ( y ) = 0

Bem, para ele ter feito essa conclusão, ele tentou utilizar o TVI. Vamos ver se essa conclusão está certa.

Passo 2

Bem, precisamos usar o TVI para verificar se a conclusão do aluno é verdadeira

Mas o que diz esse teorema mesmo? De forma bem simples ele diz o seguinte. Se f é uma função contínua em [ a , b ] onde f ( a ) < 0   e   f ( b ) > 0 ,   e   v i c e   v e r s a então tem pelo menos um carinha a < x < b tal que

f ( x ) = 0

Ora, mas o teorema pede que a função seja contínua no intervalo. E no intervalo que o aluno escolheu y   ∈   ( − 1 / 10 ,   1 / 10 ) , ela passa justamente por uma descontinuidade que ocorre quando x = 0 Logo, não podemos dizer nada sobre a presença de raízes dessa função nesse intervalo.

Ou seja, o aluno se equivocou na aplicação do TVI.

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Calculo 1, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

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