Seja a função

f ( x ) = x 3 - 1 x + x 4

Um aluno calculou f   ( − 1 / 10 )   e   f   ( 1 / 10 ) , percebeu que esses números têm sinais

contrários e concluiu que deve existir y   ∈   ( − 1 / 10 ,   1 / 10 ) tal que f ( y ) = 0 . Você

concorda com ele? Justifique.

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Queremos

verificar se a afirmação do aluno de que como f   ( − 1 / 10 )   e   f   ( 1 / 10 ) têm sinais contrários então deve existir y   ∈   ( − 1 / 10 ,   1 / 10 ) tal que f ( y ) = 0

Bem, para ele ter feito essa conclusão, ele tentou utilizar o TVI. Vamos ver se essa conclusão está certa.

Passo 2

Bem, precisamos usar o TVI para verificar se a conclusão do aluno é verdadeira

Mas o que diz esse teorema mesmo? De forma bem simples ele diz o seguinte. Se f é uma função contínua em [ a , b ] onde f ( a ) < 0   e   f ( b ) > 0 ,   e   v i c e   v e r s a então tem pelo menos um carinha a < x < b tal que

f ( x ) = 0

Ora, mas o teorema pede que a função seja contínua no intervalo. E no intervalo que o aluno escolheu y   ∈   ( − 1 / 10 ,   1 / 10 ) , ela passa justamente por uma descontinuidade que ocorre quando x = 0 Logo, não podemos dizer nada sobre a presença de raízes dessa função nesse intervalo.

Ou seja, o aluno se equivocou na aplicação do TVI.

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Calculo 1, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

Desenvolvimento Acima

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Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ π x do Exemplo 4 na janela retangular - 1,1 por - 1,1 . Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função.
Estime o valor do limite lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x Com 5 casas decimais. Esse número lhe parece familiar?Confirme sua resposta da letra (a) fazendo o gráfico da função.
Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
Use o gráfico da função f x = 1 1 + e 1 x Para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ f x lim x → 0 + ⁡ f x lim x → 0 ⁡ f ( x )
Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5