UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Prof° Ricardo Martins - Listas sobre Limites e Continuidade, Questão 2.2
Seja . Mostre que essa sequência é crescente e limitada (por exemplo, pelo ).
Passo 1
Eaew, beleza?
Nós temos a seguinte relação para a o enésimo termo de uma sequência
queremos mostrar que ela é crescente e limitada! Uma função crescente é tal que todos os seus elementos seguem um padrão da forma
ela será limitada, se for limitada superiormente e inferiormente, ou seja, existem um valor ao qual , em que , assim como existem um valor , tal que para todo . Vamos tentar verificar isso! Saca só!
Passo 2
Vamos escrever alguns termos de nossa sequência, para , temos que
da mesma forma, para , temos que
ou simplesmente
Vamos fazer mais um, temos para , que
Você pode usar qualquer valor para e verá que a função estará sempre crescendo! Portanto, ela é crescente. Mas, como pode notar, ela sempre vai crescendo menos. Como sabemos se ela tem um limite superior? Vamos mexer com isso um pouco!
Passo 3
Para saber se ela tem um limite superior vamos calcular o seguinte limite
se existir, então a função é limitada! Resolver esse limite do zero é um pouco chatinho, mas, esse é um limite fundamental conhecido como
ou seja, esse é o limite superior de nossa sequência, em particular , também pode ser considerado como um limite superior, mas também poderiam ser sem problema algum! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Ao longo dos passos!