4. Sejam f x = - 4 x + 4 , g x = - x ,   x ≤ - 2 1 - x ,   x > 2 e h x = f x g x . Determine lim x → - 2 - ⁡ h x e lim x → - 2 + ⁡ h x

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui temos os limites laterais de h x quando x → - 2 .

Repara que o enunciado não nos disse quem era h ( x ) , mas disse que h x = f x g x . E nos deu quem é f ( x ) e g x . Então podemos escrever o nosso limite assim:

lim x → - 2 ⁡ h x = lim x → - 2 ⁡ f x g x

Como temos um produto de duas funções, podemos escrever o limite assim:

lim x → - 2 ⁡ h x = lim x → - 2 ⁡ f ( x ) . lim x → - 2 ⁡ g ( x )

Ou seja, podemos calcular o limite de f ( x ) e g x em separado. Bora lá!

Passo 2

Começando por lim x → - 2 ⁡ f ( x ) , temos que f x = - 4 x + 4 . Ou seja, como f x é uma função continua, temos que

lim x → - 2 ⁡ f x =   lim x → - 2 - ⁡ f ( x ) = lim x → - 2 + ⁡ f ( x )

Logo,

lim x → - 2 ⁡ f x = lim x → - 2 ⁡ - 4 x + 4 = - 8

Agora vamos calcular as nossas g ( x ) .

Passo 3

Repara que g ( x ) tem comportamentos diferentes para x menor e maior que - 2 .

g x = - x ,   x ≤ - 2 1 - x ,   x > 2

Então vamos começar fazendo o limite pela esquerda

lim x → - 2 - ⁡ g x = lim x → - 2 - ⁡ - x = 2

Calculando lim x → - 2 - ⁡ h x , ficamos com

lim x → - 2 - ⁡ h x = lim x → - 2 - ⁡ f ( x ) . lim x → - 2 - ⁡ g ( x )

lim x → - 2 - ⁡ h x = - 8 2 = 16

Agora vamos para o outro lado!

Passo 4

Fazendo agora o limite pela direita

lim x → - 2 + ⁡ g x = lim x → - 2 + ⁡ 1 - x = 3

Calculando lim x → - 2 + ⁡ h x , ficamos com

lim x → - 2 + ⁡ h x = lim x → - 2 + ⁡ f ( x ) . lim x → - 2 + ⁡ g ( x )

lim x → - 2 + ⁡ h x = - 8 3 = 21

Prontinho!

Resposta

lim x → - 2 - ⁡ h x = 16

lim x → - 2 + ⁡ h x = 21

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