Suponha que ao se consumir x m 3 de água por mês, o valor mensal a ser pago seja q ( x ) reais. Quando x é menor ou igual a 20 , paga-se 2 x , quando é maior, paga-se 3 x + a , onde a é uma quantidade.

  1. Considerando o contexto da questão, determine a expressão da função q ( x ) e explique por que ela possui comportamento estranho caso a constante a seja zero
  2. Usando a definição de continuidade, determine o valor de a para que a função q ( x ) seja contínua em x = 20

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

q ( x ) que registra o consumo mensal x m 3 de água e fornece o valor da conta a ser paga em reais. Sim, boletos!

Mas não temos a cara dessa função custo: ela foi descrita por partes! Isso mesmo, a função custo vai depender do consumo! É igual ao consumo de energia e o sistema de bandeiras!

O problema diz que quando o consumo é menor ou igual a 20 , a pessoa vai pagar 2 x . Se ultrapassar esse valor, vai pagar 3 x + a .

Então temos uma função definida por partes! E a primeira coisa que se pede é justamente para escrever uma função que represente tudo isso

a usando os critérios de continuidade, você lembra deles?

São esses três:

  1. Os limites laterais devem existir (não ser ) e serem iguais lim x → a + ⁡ f ( x ) = lim x → a - ⁡ f ( x )
  2. Deve existir a função aplicada no ponto f ( a )
  3. E os resultados de ( 1 ) e ( 2 ) devem ser iguais!

Então é isso, basta aplicar esses critérios na nossa função!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Letra (a): precisamos encontrar a cara da função q ( x ) o problema nos dá duas pistas:

  • O problema diz que quando o consumo é menor ou igual a 20 , a pessoa vai pagar 2 x
  • Se ultrapassar esse valor, vai pagar 3 x + a

Então a função pode ser escrita assim

q x = 2 x ,       s e   x ≤ 20 3 x + a ,       s e   x > 20

a = 0 . Mas qual seria o problema? Vejamos, quando o consumo é x = 20 m 3 , o custo é

q 20 = 2.20 = 40

E quando o consumo é 21 m 3 ? Aí vamos trocar de função:

q x = 3 x + a

Mas com a = 0

q 21 = 3.21 = 63

Muito mais alto do que qualquer outro, o que gera estranheza

Passo 3

Letra (b): agora vamos usar a definição de continuidade para determinar o valor de a

Os limites laterais devem ser iguais, então vamos relembrar nossa função

q x = 2 x ,       s e   x ≤ 20 3 x + a ,       s e   x > 20

Pela esquerda de x = 20 temos

lim x → 20 - ⁡ 2 x = 2.20 = 40

Em x = 20 a função assume também o valor de 40 , pois o custo é 2 x para esse consumo de água

Tudo bem até aqui?

agora pela direita:

lim x → 20 + ⁡ 3 x + a = 3.20 + a = 60 + a

E o que precisamos ter para que a função seja contínua? Que os limites laterais sejam iguais entre si e iguais ao valor da função no ponto

lim x → 20 - ⁡ q ( x ) = lim x → 20 + ⁡ q ( x ) = q ( 20 )

Mas lim x → 20 - ⁡ q ( x ) = q 20 = 40 , assim

lim x → 20 + ⁡ q ( x ) = 40 = 60 + a

60 + a = 40

a = 40 - 60

a = - 20

Encontramos a constante que deixa nossa função custo contínua! Assim q ( x ) é:

q x = 2 x ,       s e   x ≤ 20 3 x - 20 ,       s e   x > 20

Tranquilo? Terminamos! Espero ter ajudado!

Resposta

a ) q x = 2 x ,       s e   x ≤ 20 3 x + a ,       s e   x > 20

b ) - 20

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