UnB – Cálculo 1 – P1 – Questão 2
Suponha que ao se consumir de água por mês, o valor mensal a ser pago seja reais. Quando é menor ou igual a , paga-se , quando é maior, paga-se , onde é uma quantidade.
- Considerando o contexto da questão, determine a expressão da função e explique por que ela possui comportamento estranho caso a constante seja zero
- Usando a definição de continuidade, determine o valor de para que a função seja contínua em
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?
Mas não temos a cara dessa função custo: ela foi descrita por partes! Isso mesmo, a função custo vai depender do consumo! É igual ao consumo de energia e o sistema de bandeiras!
O problema diz que quando o consumo é menor ou igual a , a pessoa vai pagar . Se ultrapassar esse valor, vai pagar .
Então temos uma função definida por partes! E a primeira coisa que se pede é justamente para escrever uma função que represente tudo isso
São esses três:
- Os limites laterais devem existir (não ser ) e serem iguais
- Deve existir a função aplicada no ponto
- E os resultados de e devem ser iguais!
Então é isso, basta aplicar esses critérios na nossa função!
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Vamos começar?
Passo 2
Letra (a): precisamos encontrar a cara da função o problema nos dá duas pistas:
- O problema diz que quando o consumo é menor ou igual a , a pessoa vai pagar
- Se ultrapassar esse valor, vai pagar
Então a função pode ser escrita assim
E quando o consumo é ? Aí vamos trocar de função:
Mas com
Muito mais alto do que qualquer outro, o que gera estranheza
Passo 3
Letra (b): agora vamos usar a definição de continuidade para determinar o valor de
Os limites laterais devem ser iguais, então vamos relembrar nossa função
Pela esquerda de temos
Em a função assume também o valor de , pois o custo é para esse consumo de água
Tudo bem até aqui?
agora pela direita:
E o que precisamos ter para que a função seja contínua? Que os limites laterais sejam iguais entre si e iguais ao valor da função no ponto
Mas , assim
Encontramos a constante que deixa nossa função custo contínua! Assim é:
Tranquilo? Terminamos! Espero ter ajudado!